常微分方程--第四章 高阶微分方程(4.1节.ppt

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1、本章重点讲述：A线性微分方程的基本理论；B常系数线性方程的解法；C某些高阶方程的降阶和二阶方程的幂级数解法。对于二阶及二阶以上的微分方程的解包括基本理论和求解方法。这部分内容有两部分：1、线性微分方程（组）：在第四、五章讨论2、非线性微分方程（组）：在第六章简单介绍§4.1线性微分方程的一般理论第四章高阶微分方程一、引言n阶线性微分方程一般形式:称(4.2)为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程，而(4.1)称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程。把(4.2)叫做对应于方程(4.1)的齐次线性微分方程。其中及都是区间上的连续函数如果，则方程变为其中及都是区间

2、上的连续函数其中及都是区间上的连续函数如果，则方程变为如果，则方程变为定理1（方程(4.1)的解的存在唯一性定理）如果及都是区间上的连续函数，则对于任一及任意的，方程(4.1)存在唯一解，定义于区间上，且满足初值条件定理2（叠加原理）如果二、齐次线性微分方程的解的性质与结构是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合也是方程（4.2）的解，这里为任意常数。特别地，当时，即方程（4.2）有解它含有个任意常数，问题：它是n阶齐次线性方程（4.2）的通解吗？线性相（无）关、朗斯基(Wronsky)行列式线性相（无）关的定义如果存在不全为零的常数，使得定义在区间上的函数对于所有

3、都成立，则称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关。例如在任何区间上都是线性无关的；在任何区间上都是线性相关的；在任何区间上都是线性相关的。朗斯基行列式的定义称为这些函数的朗斯基行列式定义k个k-1次可微的函数所成的行列式定理3若函数证明:由假设知，存在一组不全为零的常数依次对t微分得到下面的方程组在区间上线性相关，则在上它们的朗斯基行列式可以看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数就是朗斯基行列式要使此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即朗斯基行列式在区间[a,b]上为零。注意：上述定理的逆命题不成立。例如：设在区间上满足，但它们在此区间上

4、却是线性无关的。因为，假设存在恒等式，则当时，得；当时，又可推得，所以线性无关。问题：如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？如果是齐次线性微分方程（4.2）的解，则有下述定理定理4：如果是齐次线性微分方程（4.2）的n个解，则它们在区间上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式在这个区间的任何点上都不等于零。n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；2.在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与这n个解线性相关等价；3.在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零与这n个解线性无关等价；4.一般情况下，上述结论不一定成立。说明：定理5n阶齐次线性微

5、分方程(4.2)一定存在n个线性无关解。定理6（通解结构定理）如果是方程(4.2)的n个线性无关解，则方程(4.2)的通解为其中是任意常数。且它包含了方程（4.2）的所有解。推论:方程（4.2）的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。方程（4.2）的n个线性无关解称为方程的一个基本解组。三、非齐次线性微分方程与常数变易法性质1如果是方程(4.1)的解，而是对应的齐线性方程(4.2)的解，则是非齐线性方程（4.1）的解。性质2非齐线性方程（4.1）的任意两个解之差是其对应的齐线性方程（4.2）的解。性质3设方程（4.1）的非齐次项

6、为，且与分别是方程的解，则是方程的解。注：该性质称为非齐线性方程的解的叠加原理定理7若是齐线性方程（4.2）则非齐线性方程（4.1）的通解可表为其中为任意常数，且它包括了方程的一个基本解组，而是非齐线性方程（4.1）的解，（4.1）的所有解。求解非齐线性方程（4.1）的常数变易法：设基本解组，则其通解可表示为是对应的齐线性方程(4.1)的一个则非齐次线性方程的通解可由得出将所得代入到中，得非齐线性方程（4.1）的通解为解应用常数变易法，令代入方程可得例1解得所以于是原方程通解为例2解对应齐次方程方程可改写为易得方程的通解为因此方程基本解组为容易计算得到原方程的通解为例

7、2首先将原方程改写为（为什么要这样？）设代入可得作业P1311,2,3（1）（3）（5）