2、x2,y2,得到一个二元一次方程,然后将其代入其中一个圆的方程得到一个一元二次方程.利用判别式Δ判断两圆的位置关系如下:Δ>0⇔有两个不同实数解⇔两圆相交;Δ=0⇔有两个相同实数解⇔两圆相切(外切或内切);Δ<0⇔没有实数解⇔两圆相离(外离或内含).2.两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.(1)方程③表示两圆C1与C2的公共弦所在直线的方
3、程;(2)若圆C1与圆C2的半径长相等,则方程③表示的直线是两圆的对称轴.3.两圆公共弦长的求法(1)代数法:将两圆的方程联立得方程组,由此解出两交点的坐标,再利用两点间的距离公式求公共弦长.(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出公共弦长.4.两圆的位置关系与公切线条数的关系(1)两圆外离,有四条公切线.(2)两圆外切,有三条公切线.(3)两圆相交,有两条公切线.(4)两圆内切,有一条公切线.(5)两圆内含,没有公切线.如图所示.5.圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫
4、做圆系方程.常见的圆系方程有以下几种.(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.(2)半径长相等的圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中r是定值,a,b是参数.(3)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).(4)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(
5、x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含有圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意以防漏解).当λ=-1时,方程变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在;当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线).自我检测(教师备用)1.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是()(A)相离(B)外切(C)相交(D)内切2.圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是()(A)相交(
6、B)外切(C)内切(D)相离3.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是()(A)4(B)3(C)2(D)1CDB5.若关于x的方程x+k=有两个相异实根,则实数k的取值范围为.4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程为.答案:x+3y=0题型一圆与圆位置关系的判断【例1】已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1
7、,C2的位置关系为(1)相切;课堂探究解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.所以
8、C1C2
9、==a.(1)当
10、C1C2
11、=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当
12、C1C2
13、=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.解:(2)当3<
14、C1C2
15、<5,即316、C1C2
17、>5,即a>5时,两圆外离.(4)当0≤
18、C1C2
19、<3,即0≤a<3时,两圆内含.(2
20、)相交;(3)外离;(4)内含.方法技巧判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下:(1)将两圆的方程化为标准方程.(2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2.(3)根据d与
21、r1-r2
22、、r1+r2的大小关系作出判断.即时训练1-1:(1)圆x
