高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案含解析新人教A版必修.doc

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1、4．2.2&4.2.3　圆与圆的位置关系　直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系[提出问题]上图为某次拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．[导入新知]1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1

2、，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2

3、r1－r2

4、＜d＜r1＋r2d＝

5、r1－r2

6、d＜

7、r1－r2

8、(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程组得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含[化解疑难]几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是

9、把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．判断两圆的位置关系[例1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半

10、径长r2＝(k＜50)，从而

11、C1C2

12、＝＝5.当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．当

13、－1

14、＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当

15、－1

16、＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋＜5或

17、－1

18、＞5，即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．[类题通法]1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d与r1＋r2，

19、r1－r2

20、的大小关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆

21、心距与两圆半径的关系．[活学活用]1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)A．相离　　　　　B．相切C．相交D．内含答案：C2．(湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)A．21B．19C．9D．－11答案：C与两圆相交有关的问题[例2]　求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．[解]　法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4

22、.则有＝，解得a＝，故圆心为，半径为＝.故圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.[类题通法]1．圆系方程一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由

23、其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形