建筑力学电子教案_压杆稳定

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1、第十三章压杆稳定§13-1关于稳定性的概念但如杆长为1m，则不到30N的压力，杆就会突然产生显著的弯曲变形而失去工作能力。一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴向压力，设材料的抗压强度为40MPa，则当杆很短（如h=30mm），将杆压坏的压力为：横截面和材料相同的压杆，由于杆的长度不同，其抵抗外力的性质将发生根本的改变。粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。细长压杆之所以丧失工作能力，是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。工程中，许多受压构件需要考虑其稳定性，例如：千斤顶顶杆，托架中的压杆，无缝钢管穿孔机顶杆，采矿工程中

2、的钻杆等，在轴向压力较大时，就可能丧失稳定而突然破坏，造成严重事故。截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失稳现象。（1）杆本身不可能绝对地直；（2）杆的材质不可能绝对地均匀；（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。F压杆受压力时弯曲的原因在于：这些因素使压杆在外加压应力下除了发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形。可以用下列模型来说明稳定问题的关键：在杆上施加一竖向力F，再施加一横向力Q，使杆发生转动。如果F不大，杆能保持平衡，且撤去Q后，杆将恢复到其原来的直线状态。但当F大过一个临界值时，撤去Q，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为

3、稳定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用表示。而只与系统本身的性质l、EI有关。可见，研究压杆稳定的关键就是寻找。F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ§13-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。(a)在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向

4、位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw(图b)。杆的挠曲线近似微分方程为(b)令，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为(b)(c)将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。利用边界条件x=l，w=0得到注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则将有w≡0而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0。满足此条件的kl为或即由于意味着临界力Fcr＝0，也就是杆根本未受轴向压力，这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。由kl＝有从而得到求两端铰支细长中心压杆临界

5、力的欧拉公式：此时杆的挠曲线方程可取kl＝，代入式(c)得到为：亦即I是横截面最小形心主惯性矩13注意到当x=l/2时w=，故有A=。从而挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是是一个无法确定的值。即不论为任何微小值，上述平衡都可以维持，好象压杆受作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安”的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。值无法确定的原因是推导采用了挠曲线近似微分方程。如果采用挠曲线精确微分方程，则可以解出的关系。几种理想支端约束条件下的细长压杆当这些压杆都是等截面杆,且均由同一材料制成时,其临界荷载Fcr的计算公式可统一写为lABFcrlFcrvlABFcrlAByx

6、Fcr§13-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧.拉公式·压杆的长度系数式中μ称为长度系数,随杆端约束情况而异；μl则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。如下各图所示。lABFcrlAByxFcrlABFcrlFcrv从上述分析可知,中心受压直杆的临界力Fcr与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为l，横截面对z轴的惯性矩为I。推导其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。lABFcr思考题8-1最后得kl=p挠曲线近似微分方程挠曲线方程ABδyxFcrFcrMeMe思8-1参考答案思考题

7、8-2lABFcrI2IIl/4l/2l/4推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。思考题8-2参考答案ABFcrCDE在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由AD、DE、EB三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点C处的切线应与x轴平行。分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。如何判断粗短、细长杆呢？§13-4欧拉公式的适用范围·临界应力总图1临界应力和柔度