【力学教案】 第 十 章 压杆稳定

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1、第十章压杆稳定§10−1压杆稳定的概念一、压杆稳定性的概念1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图10–1a所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图10–1b所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，

2、而且继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10–1c所示。图10−1(a)(b)(c)2、压杆稳定性的概念细长直杆两端受轴向压力作用，其平衡也有稳定性的问题。设有一等截面直杆，受有轴向压力作用，杆件处于直线形状下的平衡。为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图10–2a），然后撤消此横向干扰力。当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图10–2b），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢

3、复到原来的直线平衡状态（图10–2c），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用Fcr表示。当F=Fcr时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。F1FF(a)F

4、cr(b)F>FcrF>Fcr(c)图10−2除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图10−3中列举了几种薄壁结构的失稳现象。本章只讨论压杆的稳定性问题。(c)q(b)q(a)F图10−3§10−2两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式下面以两端球形铰支、长度为l的等截面细长压杆为例，推导其临界力的计算公式。选取坐标系如图10−4a所示，当轴向压力达到临界力Fcr时，压杆既可保持直线形态的平衡，又可保持微弯形态的平衡

5、。假设压杆处于微弯状态的平衡，在临界力Fcr作用下压杆件的轴线如图所示。此时压杆距原点为x的任一截面m-m的挠度为y=f(x)，取隔离体如图10–4b所示，截面m-m上的轴力为Fcr，弯矩为M(x)=Fcry（a）弯矩的正负号仍按§9-2的规定，Fcr取正值，挠度以y轴正方向为正。将弯矩方程(a)代入挠曲线的近似微分方程(b)xmmδM(x)=FcryyFcryFcrxyFcryFcrmm图10−4(a)(b)令(c)则式(b)可写成(d)这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为y=Asinkx+Bco

6、skx(e)式中A和B是积分常数，可由压杆两端的边界条件确定。此杆的边界条件为在x=0处，y=0在x=l处，y=0由边界条件的第一式得B=0于是式(e)成为y=Asinkx(f)由边界条件的第二式得Asinkl=0由于压杆处于微弯状态的平衡，因此A≠0，所以sinkl=0由此得kl=nπ(n=0,1,2,3，···)所以将上式代入式(c)，得由于临界力是使压杆失稳的最小压力，因此n应取不为零的最小值，即取n=1，所以(10–1)上式即为两端球形铰支（简称两端铰支）细长压杆临界力Fcr的计算公式，由欧拉（

7、L.Euler）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。应该注意，压杆的弯曲在其最小的刚度平面内发生，因此欧拉公式中的I应该是截面的最小形心主惯性矩。在临界荷载Fcr作用下，，因此式(f)可写成由此可以看出，在临界荷载Fcr作用下，杆的挠曲线是一条半个波长的正弦曲线。在x=l/2处，挠度达最大值，即因此积分常数A即为杆中点处的挠度，以δ表示，则杆的挠曲线方程为(g)此处挠曲线中点处的挠度δ是个无法确定的值，即无论δ为任何微小值，上述平衡条件都能成立，似乎压杆受临界力作用时可以处于微弯的随遇平衡状态。

8、实际上这种随遇平衡状态是不成立的，之所以δ值无法确定，是因为在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。如果采用挠曲线的精确微分方程进行推导，所得到的F–δ曲线如图10–5a所示，当F≥Fcr时，压杆在微弯平衡状态下，压力F与挠度δ间为一一对应的关系，所谓的δ不确定性并不存在；而由挠曲线近似微分方程得到的F–δ曲线如图10–5b所示，当F=Fcr时，压杆在微弯状态下呈随遇平衡状态。FFcrOδAB(a)FFcrOδAB(b)图10−5§10−3