材料力学第9章压杆稳定

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1、第9章　压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的临界载荷9.3压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件与合理设计9.1引　言1.平衡稳定性的概念构件在压力或其他特定载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一位置称为刚体的平衡位形或弹性体的平衡构形。刚体的平衡位形与弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定的问题。例如，图9－1(a)所示竖直放置的刚性直杆AB，下端铰支，上端用刚度系数为k的水平弹簧支持。在铅垂载荷F作用下，刚杆在竖直位置保持平衡，此时弹簧处于自然状态。假设刚杆受到微小侧向扰动，使杆端产生微小的侧向位移δ（见图9－1(b)），则弹簧产生水平恢复力kδ。此时，载荷F对A点的力矩

2、Fδ将使杆更加偏离竖直的平衡位形，而弹簧力的力矩kδl将使杆恢复其初始平衡位形。如果Fδkδl，即F>kl，则在干扰解除后，刚杆不仅不能自动返回其初始的平衡位形，而且还将继续偏转，这说明在该载荷作用下，刚杆在竖直位置的平衡位形是不稳定的。如果Fδ=kδl，即F=kl，则刚杆既可以在竖直位置保持平衡，也可以在任意微小偏斜状态下保持平衡，这种平衡称为随遇平衡。随遇平衡实质上也是一种不稳定平衡，它介于稳定平衡与不稳定平衡之间，也称为临界

3、平衡。可见，当杆长l与弹簧常数k确定之后，刚性直杆AB竖直平衡位形的性质，由载荷F的大小而定。使刚体的平衡位形由稳定向不稳定过渡的临界状态的载荷值称为临界载荷，并用Fcr表示。图9－1对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2(a)）。外界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时，压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2(b)）；当轴向压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破

4、坏。上述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡，也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。2.工程中的失稳现象工程中受压的杆件是很多的，例如各种建筑的立柱、各种液压机械的活塞杆、机床的丝杠、曲柄连杆机构中的连杆、桥梁与钻井井架等桁架结构中的压杆等等，它们都有平衡构形的稳定性问题。除细长

5、压杆外，其他弹性构件也存在稳定性问题。例如,薄壁圆管受压或受扭时，当轴向压力或扭矩达到或超过一定数值时，圆管将突然发生皱褶（见图9－3）。图9－4(a)所示狭长矩形截面梁，当载荷F达到或超过一定数值时，梁将突然发生翘曲；图9－4(b)所示承受径向外压的圆柱形薄壳，当外压p达到或超过一定数值时，圆环形截面将突然变为椭圆形。图9－3图9－49.2细长压杆的临界载荷9.2.1两端铰支细长压杆的临界载荷如图9－5所示，两端铰支的等截面细长直杆承受轴向压力作用。在临界状态下，压杆除了直线形式的平衡构形外，还可能存在与之无限接近的微弯平衡构形。现以微弯平衡构形作为其临界状

6、态特征，确定其临界载荷。图9－5在杆内应力不超过材料的比例极限时，根据小挠度挠曲轴的近似微分方程，压杆的挠曲轴方程w=w(x)应满足（a）考察微弯状态下任意一段压杆的平衡，得到弯矩方程为（b）将式（b）代入式（a），得到（c）二阶常微分方程（c）的通解为（e）式中，均为未知，其值由压杆的位移边界条件与微弯变形状态确定。两端铰支压杆的位移边界条件为（f）将式（f）代入式（e），得到（g）由于压杆处于微弯状态，A和B不全为零，则应有（h）而要满足此条件，则要求(n=0,1,2…)（i）将式（i）代入式（d），于是得(n=0,1,2…)(j)使压杆在微弯状态下保持平衡的

7、最小轴向压力即为压杆的临界载荷。由式(j)取n=1，即得两端铰支细长压杆的临界载荷为（9－1）式(9－1)是由欧拉于1744年最早提出的，所以通常称为临界载荷的欧拉公式，该载荷又称为欧拉临界载荷。可以看出，两端铰支细长压杆的临界载荷与截面弯曲刚度成正比，与杆长的平方成反比。对于各个方向约束相同的情形，上式中的惯性矩I应为压杆横截面最小主形心惯性矩。在临界载荷作用下，即k=π/l时，由式（e）得，即两端铰支细长压杆临界状态的挠曲轴为一半波正弦曲线，其最大挠度A则取决于压杆微弯的程度。可见，压杆在临界状态下的平衡是一种有条件的随遇平衡，微弯程度可以任意，但挠曲轴形状一

8、定。9.2