材料力学第11章压杆稳定

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1、第11章压杆稳定11.1压杆稳定的概念例如，支承机械的千斤顶（见图11.1）、托架中的压杆（见图11.2）等，可能在工作时被压弯，发生较大的弯曲变形进而折断，这就是稳定性问题。图11.1图11.2下面以如图11.3所示的两端铰支的细长压杆来说明这类问题。在杆件两端施加轴向压力F，当压力F较小时，压杆保持直线平衡状态，图11.3若给杆件一个微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲（见图11.3（a）），当干扰力消除后，杆件将恢复其直线平衡状态（见图11.3（b）），此种平衡状态称为稳定平衡。当轴向压力F增大到某一定值时，杆件仍可暂时维持直线平衡状态，但若给杆

2、件一个微小的侧向干扰力使其轻微弯曲，在干扰力消除后，压杆将不能恢复直线平衡而处于微弯平衡状态（见图11.3（c）），此种平衡状态称为非稳定平衡。压杆由稳定平衡状态过渡到非稳定平衡状态，称为丧失稳图11.3定性，简称为失稳，也称屈曲。不难看出，压杆能否保持稳定，与压力F的大小有着密切的关系。随着压力F的逐渐增大，压杆就会失稳。这就是说，轴向压力的量变，将引起压杆平衡状态的质变。压杆从稳定平衡过渡到非稳定平衡时的压力临界值称为临界压力，以Fcr表示。显然，当压杆所受的压力达到临界值时，压杆开始丧失稳定。由此可见，确定压杆临界压力的大小，将工作压力控制在

3、临界压力范围内，是解决压杆稳定问题的关键。当然，除了压杆以外，某些其他构件也存在稳定性问题。例如，薄壁球形容器在径向压力作用下的变形（见图11.4（a））；狭长矩形截面梁在弯曲时的侧弯失稳（见图11.4（b））；两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形状而失稳（见图11.4（c））等。这些都是稳定性问题，在工程设计中应当注意。本章仅讨论中心受压直杆的稳定性问题。图11.411.2不同约束条件下细长压杆的欧拉公式11.2.1两端铰支细长压杆的临界压力两端为球铰支座的中心受压细长直杆如图11.5所示。如前所述，当压力达到临界值Fcr时，在横向因素的干扰下

4、，压杆可在微弯状态下保持平衡。可见，临界压力Fcr就是使压杆保持微弯平衡的最小压力。图11.5建立如图11.5所示坐标系xOy，距原点为x的任意截面的挠度为v。由截面法，该截面的弯矩为式（a)右端的负号是由于图示坐标系中弯矩M与挠度v恒为异号。在小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为式（7.5），即由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生在抗弯能力最小的纵向平面内。所以，上式中的I应是横截面的最小惯性矩。将式（a）代入式（b），得令于是式（c）改写为一常系数线性二阶齐次微分方程此微分方程的通解为式中A，B—

5、—积分常数，可由杆的边界条件来确定。杆的边界条件为：x=0和x=l时，v=0。代入式（f），得其中第2个式子只有在A=0或sinkl=0时才成立。结合B=0，若A=0，则由式（f）知v≡0，压杆任意截面的挠度均等于零，即压杆并无弯曲而处于直线平衡状态，这与在临界力作用下压杆保持微弯的平衡状态这一前提不相符，因此，必然是使上式成立的kl值为其中,n为任意整数，即n=0，1，2，…。由此可得上式代入式（d），得因为n为任意整数，所以使压杆保持微弯平衡状态的临界压力在理论上可以有无穷多个。但实际上，当压杆在最小临界压力作用下，就已经处于由稳定平衡向不稳

6、定平衡过渡的临界平衡状态并将丧失稳定性了。但n=0，不符合要求。所以当n=1时，Fcr为最小值，这就是保证压杆安全工作的临界压力Fcr，即这就是两端铰支细长压杆临界压力的计算公式，由于最早是由欧拉导出的，所以也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。式（11.1）表明Fcr与抗弯刚度EI成正比，与杆长的平方l2成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。将k=π/l代入式（f），得压杆的挠度方程为可见，在两端铰支的情况下，压杆微弯的挠曲线为半个正弦波曲线，在x=l/2处，最大挠度vmax=A。11.2.2其他约束条件下细长压杆的临界压力表11

7、.1概括了上述几种工程实际中常见的理想约束条件下细长压杆的挠曲线形状及其相应的欧拉公式表达式。由表11.1可知，对于各种不同的约束条件下的等截面中心受压细长直杆的临界压力的计算公式可写成统一的形式例11.1如图11.6所示，一端固定，一端自由的细长压杆用22a工字钢制成，压杆长度l=4m，弹性模量E=210GPa。试用欧拉公式计算此压杆的临界压力。解压杆一端固定，一端自由，长度因数μ=2。由型钢表可以图11.6查得22a工字钢，Iz=3400cm4，Iy=225cm4。所以，根据式（11.2）压杆的临界压力为11.3欧拉公式的适用范围经验公式11

8、.3.1计算临界应力的欧拉公式压杆在弹性范围内失稳时，其在临界压力作用下横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr表示。若压