选修4-2选修4-2--矩阵与变换.ppt

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1、【命题预测】1．矩阵是研究数学问题和实际问题的一种工具，因此，掌握矩阵的运算方法就显得非常重要．在高考中对这一部分的考查也主要体现在研究问题的方法中．2．由于这一部分是新增加的内容，也是高中数学教材与高等数学教材的接轨知识，故难度不会很大，通常考查矩阵的基本运算，或与解析几何中二次曲线的变换结合起来进行考查，以二阶矩阵的考查为主．3．若有涉及生产实际中的问题，通常也会是一些基础的问题，主要与方程的变换与求解结合起来，并且主要强调做题的技巧．矩阵带来的方便将会是考查的方向，渗透等价转化与数形结合等基本数学思想．【应试对策】1．矩阵变换的性质从代数方面可以简单概括为以下三条

2、：对于给定的矩阵A和任意的向量a和b，都有(1)A(a＋b)＝Aa＋Ab；(2)对于任意实数λ都有A(λa)＝λ(Aa)；(3)综合(1)(2)可得对于任意实数λ和μ，都有A(λa＋μb)＝λ(Aa)＋μ(Ab)．从几何角度来看，可逆的矩阵变换把直线变成直线，把线段变成线段，把平行四边形变成平行四边形．2．因为矩阵的乘法运算不满足交换律，对应的，对一个向量a先实施变换f，再实施变换g和先实施变换g，再实施变换f，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题，弄清题意，不能混淆f(ga)和g(fa)．3．鉴于大多数同学对矩阵的运算还不熟练，在求逆矩阵和利用逆矩阵求二元一

3、次方程组时，一定要注意对计算结果进行检验．4．矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，熟练掌握本讲知识，将可以大大减少运算量．另外，我们还经常用它来解决生活类的问题，体现了矩阵知识在现实生活中的广泛应用．【知识拓展】矩阵的转置设A＝，所谓A的转置就是指矩阵A′＝1．矩阵(1)在数学中，把形如这样的矩形数字(或字母)阵列称做.把像[a11a12]这样只有一行的矩阵称为，像这样只有一列的矩阵称为.同一横排中按原来的次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的，同一竖排中按原来的次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为

4、矩阵的.(2)只有一行的矩阵称为行矩阵．(3)只有一列的矩阵称为列矩阵．(4)所有元素都为0的矩阵叫做矩阵．(5)对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素，A和B才相等，记作.矩阵行矩阵列矩阵元素列零也分别相等时A＝B行2．几种常见的平面变换(1)矩阵E＝称为恒等变换矩阵或矩阵．(2)像这样的矩阵，称为沿y轴或x轴的垂直变换矩阵．(3)像这样的矩阵，称为反射变换矩阵．(4)像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．(5)像这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．(6)像(k∈R，k≠0)这样的矩阵，称为切变变换矩阵．单

5、位伸压3．变换的复合与矩阵的乘法(1)对于矩阵，规定乘法法则如下：(2)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律．(3)矩阵的乘法满足结合律，即．(4)矩阵的乘法不满足消去律．(AB)C＝A(BC)4.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的.A的逆矩阵记作A－1.(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且.(3)已知A、B、C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)我们把称为，记为.逆矩阵(AB)－1＝B－1A－1二阶行列式5．特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于

6、实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．1．已知A＝，B＝，且A＝B，则x＝________，y＝________，z＝________，m＝________.答案：301－22.＝________.解析：＝答案：3.＝________.解析：＝1×4－(－1)×(－2)＝2.答案：24．A＝的特征多项式f(λ)＝________.解析：f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3.答案：λ2－

7、2λ－35．A＝的特征值为________．解析：f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f(λ)＝0得λ＝1或λ＝3.答案：1或3给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上一个点(向量)变成了另外一个点(向量)．平面中常见的变换都可以用矩阵来表示．【例1】已知△ABC经过矩阵M的变换后，变成了△A′B′C′，且A(1,0)，B(1，－1)，C(0，－1)，A′(1,0)，B′(0，－1)．(1)试求出矩阵M，并说明它的变换类型；(2)试求出点C′的坐标．思路点拨：对于已知变换前后的象和原象，求变换矩阵这类问题，我们显