资源描述：
《选修4-2矩阵与变换知识点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、选修4-2矩阵与变换知识点一、线性变换与二阶矩阵1．矩阵的相关概念⎡ab⎤（1）由4个数a,b,c,d排成的正方形数表⎢⎥称为二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩阵的⎣cd⎦元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行;竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示．⎡00⎤⎡10⎤（2）二阶矩阵⎢⎥称为零矩阵，简记为0，矩阵⎢⎥称为二阶单位矩阵，记作E．⎣00⎦⎣01⎦（3）对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵A与矩阵B⎡a1b1⎤⎡
2、a2b2⎤相等，记作A=B，设A=，B=，若A=B，则a=ab,=bc,=cd,=d．⎢⎥⎢⎥12121212cdcd⎣11⎦⎣22⎦2．线性变换的相关概念⎧x′=axby+（1）我们把形如⎨()∗的几何变换叫做线性变换，()∗式叫做这个线性变换⎩y′=cxdy+的坐标变换公式，Pxy′′′(,)是Pxy(,)在这个线性变换作用下的像．（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P，都有σ（P）=ρ（P），则称这个两个线性变
3、换相等，简记为σ=ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A=B．'⎡cosa−sina⎤⎧⎪x=xcosa−ysina注：1．旋转变换⎢⎥⎨⎣sinacosa⎦⎪⎩y'=xsina+ycosa'⎡10⎤⎧⎪x=x2．反射变换（1）关于X轴对称⎢⎥⎨'⎣0−1⎦⎪⎩y=−y'⎡−10⎤⎧⎪x=−x（2）关于Y轴对称⎢⎥⎨⎣01⎦⎪⎩y'=y'⎡01⎤⎧⎪x=x（3）关于Y=X对称⎢⎥⎨'⎣10⎦⎪⎩y=y'⎡10⎤⎧⎪x=x3．伸缩变换（1）纵轴伸缩⎢⎥⎨'⎣0k⎦⎪⎩y=ky'⎡k0⎤⎧⎪x=kx（2）横轴伸缩⎢⎥
4、⎨01'⎣⎦⎪⎩y=y'⎡k10⎤⎧⎪x=k1x（3）横纵均伸缩⎢⎥⎨0k⎪'⎣2⎦⎩y=k2y'⎡01⎤⎧⎪x=x4．投影变换（1）关于X轴正投影⎢⎥⎨'⎣00⎦⎪⎩y=0'⎡00⎤⎧⎪x=0（2）关于Y轴正投影⎢⎥⎨⎣01⎦⎪⎩y'=y'⎡1k⎤⎧⎪x=x+ky5．切变变换（1）沿X轴平行方向移ky个单位⎢⎥⎨'⎣01⎦⎪⎩y=y'⎡10⎤⎧⎪x=x（2）沿Y轴平行方向移kx个单位⎢⎥⎨k1'⎣⎦⎪⎩y=kx+y3．二阶矩阵与平面向量的乘法⎡ab⎤⎡⎤x⎡ab⎤⎡⎤x⎡axby+⎤设A=⎢⎥，α=⎢⎥，则Aα=⎢⎥⎢
5、⎥=⎢⎥．⎣cd⎦⎣⎦y⎣cd⎦⎣⎦y⎣cxdy+⎦4．线性变换的基本性质设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，（1）性质1①A(λα)=λAα②A(α+β)=Aα+Aβ（2）定理1A(λα+λβ)=λαA+λAβ1212（3）定理2二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1．二阶矩阵的乘法⎡a1b1⎤⎡a2b2⎤一般的，设A=⎢⎥，B=⎢⎥，则cdcd⎣11⎦⎣22⎦⎡a1b1⎤⎡a2b2⎤⎡aa12+bb12ab12+
6、bd12⎤AB=⎢⎥⎢⎥=⎢⎥cdcd⎣ca+dccb+dd⎦⎣11⎦⎣22⎦12121212对直角坐标系xOy内任意向量α，有A（Bα）=（AB）α．2．矩阵乘法的性质（1）结合律设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C．0klkl+klkl（2）二阶矩阵A的方幂的性质A=EAA,=A,(A)=A(,kl∈N).23．逆变换与逆矩阵（1）一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ=ρ，σ=I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．（2）一般地，设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得
7、BA=AB=E，则称矩阵A可逆，并且称B是A的逆矩阵．4．逆矩阵的性质（1）性质1设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）性质2设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1．5．逆矩阵的判定及求法⎡ab⎤⎡ab⎤定理：二阶矩阵A=⎢⎥是可逆的，当且仅当detA=ad-bc≠0,当矩阵A=⎢⎥可逆⎣cd⎦⎣cd⎦⎡d−b⎤⎢⎥-1detAdetA时，A=⎢⎥．⎢−ca⎥⎢⎣detAdetA⎥⎦6．逆矩阵与二元一次方程⎧axby+=e（1）定理如果关于变量x,y的二
8、元一次方程组（线性方程组）⎨的系数矩⎩cxdy+=f−1⎡ab⎤⎡⎤x⎡ab⎤⎡⎤e阵A=⎢⎥可逆时，那么该方程组有唯一解⎢⎥=⎢⎥⎢⎥．⎣cd⎦⎣⎦y⎣cd⎦⎣⎦f⎧axby+=0（2）推论关于变量x,y的二元一次方程组⎨，其中a,b,c,d是不全为零的⎩cxdy+=0ab常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行
