高等数学II解答.doc

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1、西南交通大学2004～2005学年（2）高等数学II期末试卷题目一二三四五六七八总分12得分一、单项选择题（每小题3分，共15分）。1．极限（C　　）。（A）等于0；（B）等于；（C）不存在；（D）存在但不等于也不等于02．设可微函数在点取得极值，则下列结论正确的是（A）。（A）在处的导数等于零；（B）在处的导数大于零；（C）在处的导数小于零；（D）在处的导数不存在3．下列级数中发散的级数是（C）。（A）；（B）；（C）；（D）4．微分方程的特解形式是（D）。（A）；（B）；5/5（C）；（D）1．为平面被柱面所截的部

2、分，则曲面积分的值为（C）。（A）；（B）；（C）；（D）二、填空题（每小题4分，共20分）。1．二重积分＝（其中是由直线及所围成的闭区域）。2．曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。3．周期为的函数的傅里叶级数的和函数为，则其在处的值等于2。4．曲线积分（其中是圆周：）的值为。5．幂级数的收敛域（要考察端点）为。三、解答下列各题（每小题8分，共24分）。1．函数由方程确定，可微，且。求。解：，，所以。2．交换积分次序。解：5/51．设一矩形的周长为，现让它绕其一边旋转，问矩形的长和宽分别为多少时所得圆柱体的体积最大

3、。xyAB解：如图设长为，宽为，则。绕AB旋转，得到圆柱体的体积，因此。令，解得。于是当，时圆柱体的体积最大。四、（9分）计算，其中为曲面介于及之间部分的下侧。解法一：补充的上侧。于是解法二：，解法三：曲面的法向量为，，因此5/5。五、（9分）设，可微，且曲线积分与积分路径L无关。（1）求函数；（2）求积分的值。解：（1）令，。由曲线积分与积分路径L无关，，即。解此一阶线性非齐次微分方程，得通解：。又，得。（2）六、（9分）设为连续函数且，满足，其中由确定。（1）将此三重积分化为柱面坐标系下的三次积分。（2）利用（1）

4、的结果求。解：（1）（2）由（1）于是。七、（9分）将函数展开为的幂级数，并求级数的和。解：（1），于是5/5因此（2）令，，。八、（5分）已知平面区域，为的正向边界。证明：。证明一：，而，所以。又，所以证二：直接用曲线积分算法5/5