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时间:2020-03-28
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1、西南交通大学2004~2005学年(2)高等数学II期末试卷题目一二三四五六七八总分12得分一、单项选择题(每小题3分,共15分)。1.极限(C )。(A)等于0;(B)等于;(C)不存在;(D)存在但不等于也不等于02.设可微函数在点取得极值,则下列结论正确的是(A)。(A)在处的导数等于零;(B)在处的导数大于零;(C)在处的导数小于零;(D)在处的导数不存在3.下列级数中发散的级数是(C)。(A);(B);(C);(D)4.微分方程的特解形式是(D)。(A);(B);5/5(C);(D)1.为平面被柱面所截的部
2、分,则曲面积分的值为(C)。(A);(B);(C);(D)二、填空题(每小题4分,共20分)。1.二重积分=(其中是由直线及所围成的闭区域)。2.曲面在点(1,2,0)处的切平面方程为。3.周期为的函数的傅里叶级数的和函数为,则其在处的值等于2。4.曲线积分(其中是圆周:)的值为。5.幂级数的收敛域(要考察端点)为。三、解答下列各题(每小题8分,共24分)。1.函数由方程确定,可微,且。求。解:,,所以。2.交换积分次序。解:5/51.设一矩形的周长为,现让它绕其一边旋转,问矩形的长和宽分别为多少时所得圆柱体的体积最大
3、。xyAB解:如图设长为,宽为,则。绕AB旋转,得到圆柱体的体积,因此。令,解得。于是当,时圆柱体的体积最大。四、(9分)计算,其中为曲面介于及之间部分的下侧。解法一:补充的上侧。于是解法二:,解法三:曲面的法向量为,,因此5/5。五、(9分)设,可微,且曲线积分与积分路径L无关。(1)求函数;(2)求积分的值。解:(1)令,。由曲线积分与积分路径L无关,,即。解此一阶线性非齐次微分方程,得通解:。又,得。(2)六、(9分)设为连续函数且,满足,其中由确定。(1)将此三重积分化为柱面坐标系下的三次积分。(2)利用(1)
4、的结果求。解:(1)(2)由(1)于是。七、(9分)将函数展开为的幂级数,并求级数的和。解:(1),于是5/5因此(2)令,,。八、(5分)已知平面区域,为的正向边界。证明:。证明一:,而,所以。又,所以证二:直接用曲线积分算法5/5
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