微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型.ppt

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1、4微分方程建模——Malthus模型与Logistic模型4.1.人口增长模型4.2.赝品的鉴定4.3.耐用新产品的销售速度问题4.4.传染病模型4.1人口增长模型年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律，控制人口过快增长！模型一(最简单的人口增长模型)：假设今年的人

2、口是x0,人口的年增长率是常数r,于是，k年后的人口为:美丽的大自然模型二(指数增长模型，即Malthus模型)：马尔萨斯(1766～1834)Malthus，Thomas Robert英国著名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭.1784年进入剑桥大学学习，1798年加入英国教会的僧籍,任牧师.1799年到欧洲一些国家调查人口问题.1805年成为英国第一位(也是世界上第一位)政治经济学教授.模型假设：人口增长率r是常数.人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可以

3、将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的.模型构成：设x(t)表示t时刻的人口，有当r>0，随着时间的增加，人口按指数规律无限增长!回忆：模型检验：比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符.特别，利用马尔萨斯模型验证并检查1700年至1961的260年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！例如，1961年世界人口数为30.6亿，人口数大约每35年增加一倍.模型预测：假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以几何级数

4、的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了.故马尔萨斯模型是不完善的.Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，当总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象.所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关.模型三(阻滞增长模型，即Logistic模

5、型)：由荷兰生物数学家P.F.Verhust于1837年在研究人口问题时建立.基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为Logistic模型.由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高.阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数假定r(0)=r0：固有增长率xm：人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)s的意义是什么？dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2模型检验和预测：大

6、量实验资料表明用Logistic模型描述种群的增长，效果相当不错!例如，数学家高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r0=2.309，x0=5,xm=375的Logistic曲线：几乎完全吻合.Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与Malthus模型与Logistic

7、模型所反映的数学规律类似即可.阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用.总结4.2赝品的鉴定在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家汉·凡·米格伦(HanvanMeegeren)，此人曾将17世纪荷兰著名画家约翰内斯·维米尔(JohannesVermeer)的一些油

8、画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林.维米尔名作《戴珍珠耳环的少女》最初，米格伦的确惊慌了一阵子.可是，米格伦在同年7月12日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《在埃牟斯的门徒》都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品.一位法官试图证明米格伦确有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！”《在埃牟斯的门徒》（TheDisciplesatEmmaus）米格伦最著名的伪作之一这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一