数学建模微分方程模型.ppt

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1、§2传染病模型§3战争模型§4最优捕鱼问题§1微分方程模型微分方程模型§1微分方程模型<>一、微分方程模型的建模步骤在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。<>例1某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的

2、热量大约是69（焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。<>模型分析在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。<>模型假设1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为W0。2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为W(t)是关于连续t而且充分光滑的。3．体重的变化等于输入与输

3、出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。<>模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具体的数值，得输入/天=10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天），输出/天=69（焦/公斤•天）×（公斤）=69（焦/天）。<>体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），当△t→0时，它等于dW/dt。考虑单位的匹配，利用“公斤/天=（焦/每天）/4

4、1868（焦/公斤）”,可建立如下微分方程模型<>模型求解用变量分离法求解，模型方程等价于积分得<>从而求得模型解就描述了此人的体重随时间变化的规律。<>现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗?显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W→81。我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，W是不发生变化的。所以这就非常直接地给出了W平衡=81。所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平衡值，就不必去求解微分方程了！<>至此，问题已基本上得以解决。一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：(1)根据规律列方程。利

5、用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。<>(3)模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模

6、型的建模方法。§2传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型<>已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?<>模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型<>模型21/

7、2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大<>模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。<>模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t

8、1di/dt<0<>模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程<>模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质<>模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相