数学建模--微分方程模型

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1、微分方程模型常微分方程的基本方法微分方程基础微分方程是含有函数及其导数的方程。如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则称为常微分方程。否则称为偏微分方程。例：下面的方程都是微分方程：微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下等。偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。微分方程解决的主要问题：(1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程(2)分析对象特征的变化规律(3)预报对象特征的未来性态(4)研究控制对象特征的手段微分方程

2、模型包括两个部分：方程和定解条件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分，而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称为定解条件。常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程，需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。定解问题分为初值问题和边值问题。初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的定解条件在不同点上。导数的意义：瞬时变化率在实际上我们遇到的描述变化的词有速率(物理)增长率(经济，生物，人口等)衰变(原子反应)边际的(经济)瞬时变化率的描述：绝对增加率：单位时间增加的量。相对增

3、加率：单位时间增加的百分比。变化率=增加率-减少率由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)微分方程的建模方法：(1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方程)。(2)微元法。微分方程的稳定性理论：对微分方程组若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点，如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的平衡点。稳定的平衡点的实际意义：如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方程的解，则当t时，x(t)趋向于某个稳定的平衡点。例：对Logistic

4、方程，它有两个平衡点x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平衡点，x=N是稳定的平衡点。例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这个人体重的变化。分析：问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件给出的是热量单位时间的变化2500-1200-16w(t)转换成体重为(2500-1200-16w(t))/10000因此得到变化关系常微分方程建模的物理方法热传导：牛顿冷却定律(加热定律)：例：将一只读数为25度的温度计放在室外，10分钟后度数为3

5、0度，又过了10分钟，读数变为33度，问室外温度是多少？如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距离成反比。即对于两个固定热源，距离d是常数，则在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大于室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将一个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。求溶液温度的变化规律。(平均温度)模型的解为这里有三个参

6、数，其中T0=25。还剩两个参数，利用剩下的两个条件可以确定。动力学：牛顿第二定律能量守恒定律欧拉-拉格朗日方程空气和水的阻力例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆的运动方程(1)利用Newton定律f=ma得到即(2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点则等式两边求导数则得到第一个方程。例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。底部有一个直径0.02米的孔。(1)水多长时间可以流光？(2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m的高度。求水流喷出距离的变化规律。解：直接利用Newton第二定律建模比较困难，我们利用能量的转换。在流水的过程中，桶的顶部减少的势能化为水的动能。(如图)

7、hhdsdhhds设桶的水平面积为A，孔的面积为B，则由于质量守恒，则Adh=-Bds符号反映了此消彼长。设水的流速是v则根据能量转换关系，水失去的势能转化为动能，即或练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形的，计算水深的变化规律。综合得到问题1：给出定解条件。问题2：求出桶里的水流光所需时间。练习题：1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本书，而图书馆每周收回所借图书的10%。几年后，这个教师手