建模与仿真 微分方程模型.ppt

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1、很难找到系统有关变量间的直接关系容易找到变量与他们的微分（变化率）之间的关系第五章微分方程模型2021/8/41动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程2021/8/42微分方程建模的方法和步骤建立微分方程建立函数、自变量及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系方程求解和结果分析牛顿运动定律应用已知的模型建立新的微分方程模型模拟近似法根据规律列方程微元分析法利

2、用已知的定律，通过取极限的方法或通过任意区域上取积分的方法得到微分方程根据实际资料或大量实验数据，提出假设，找出实际现象满足的规律，建立模型，通过模型解与实际情况的对比判断该方程能否模拟实际情况数值解法、图解法2021/8/43微分方程建模综合实例一问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型传染病模型2021/8/44已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感

3、染者(病人)和未感染者(健康人)建模?2021/8/45模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型2021/8/46模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大2021/8/47模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期

4、~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。2021/8/48模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<02021/8/49模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程2021/8/410模型4SIR模型无法求出的解析解在

5、相平面上研究解的性质2021/8/411functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';>>ts=0:50;>>x0=[0.02,0.98];>>[t,x]=ode45('ill',ts,x0);>>[t,x]>>plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid>>plot(x(:,2),x(:,1)),grid2021/8/412i(t)、s(t)图形i~s图形（相轨线）2021/8/413模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D

6、内作相轨线的图形，进行分析2021/8/414si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S02021/8/415模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫2021/8/416模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<

7、0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=2021/8/4175.4药物在体内的分布与排除药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学建立房室模型——药物动力学的基本步骤房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)2021/8/418中心室周边室给药排除模型假设中心室(1)和周边室(2),

8、容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立2021/8/419线性常系数非齐次方程对应齐次