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时间:2020-06-13
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1、微分方程模型微分方程模型3.1微分方程的几个简单实例3.2Malthus模型与Logistic模型3.3为什么要用三级火箭来发射人造卫星3.4药物在体内的分布3.5传染病模型3.6糖尿病的诊断3.7稳定性问题3.8捕食系统的Volterra方程3.9双种群生态系统3.10分布参数法建模§3.1微分方程的几个简单实例在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方
2、程是十分常用的数学工具之一。例1(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。从图3-1中不难看出,小球所受的合力为mgsinθ,根据牛顿第二定律可得:从而得出两阶微分方程:(3.1)这是理想单摆应满足的运动方程(3.1)是一个两阶非线性方程,不易求解。当θ很小时,sinθ≈θ,此时,可考察(3.1)的近似线性方程:(3.2)由此即可得出(3.2)的解为:θ(t)=θ0cosωt其中当时,θ(t)=0故有MQPmg图3-1(3.1)的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇,并
3、迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜水艇。这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形:敌潜艇发现自己目标已暴露后,立即下潜,并沿着直线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B为极点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r(θ),见图3-2。BAA1drdsdθθ图3-2由题意,,故ds=2dr图3-2可看出,故有:即:(3.3)解为:(3.4)先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按(3.4)对数螺线航行
4、,即可追上潜艇。追赶方法如下:例3一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水,但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开,水被不断放出。问:容器中的水被放完总共需要多少时间?解:以容器的底部O点为原点,取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度,现建立h(t)满足的微分方程。设水从小孔流出的速度为v(t),由力学定律,在不计水的内部摩擦力和表面张力的假定下,有:因体积守衡,又可得:易见:故有:即:这是可分离变量的一阶微分方程,得RxySO图3-3hr例4一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上,一端的温度恒
5、为T1,另一端温度恒为T2,(T1、T2为常数,T1>T2)。金属杆横截面积为A,截面的边界长度为B,它完全暴露在空气中,空气温度为T3,(T36、与两侧的温差成正比,比例系数与介质有关。T1T2oxABT3ldt时间内通过距离O点x处截面的热量为:dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为:由泰勒公式:金属杆的微元[x,x+dx]在dt内获得热量为:同时,微元向空气散发出的热量为:系统处于热平衡状态,故有:所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:这是一个两阶常系数线性方程,很容易求解为了保持自然资源的合理开发与利用,人类必须保持并控制生态平衡,甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型,以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研7、究,大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值,但由于种群数量一般较大,为建立微分方程模型,可将种群数量看作连续变量,甚至允许它为可微变量,由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续,方便研究§3.2Malthus模型与Logistic模型模型1马尔萨斯(Malthus)模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现,人口净增长率r基本上是一常数,(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),即:或(3.5)(3.6)(3.1)的解为:其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。马尔萨斯模型的一个显8、著特点:种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T,则有:故模型检验比较历年的人口统计资料,可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基
6、与两侧的温差成正比,比例系数与介质有关。T1T2oxABT3ldt时间内通过距离O点x处截面的热量为:dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为:由泰勒公式:金属杆的微元[x,x+dx]在dt内获得热量为:同时,微元向空气散发出的热量为:系统处于热平衡状态,故有:所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:这是一个两阶常系数线性方程,很容易求解为了保持自然资源的合理开发与利用,人类必须保持并控制生态平衡,甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型,以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研
7、究,大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值,但由于种群数量一般较大,为建立微分方程模型,可将种群数量看作连续变量,甚至允许它为可微变量,由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续,方便研究§3.2Malthus模型与Logistic模型模型1马尔萨斯(Malthus)模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现,人口净增长率r基本上是一常数,(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),即:或(3.5)(3.6)(3.1)的解为:其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。马尔萨斯模型的一个显
8、著特点:种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T,则有:故模型检验比较历年的人口统计资料,可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基
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