建模3(微分方程模型,供参考).ppt

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1、微分方程模型微分方程模型3.1微分方程的几个简单实例3.2Malthus模型与Logistic模型3.3为什么要用三级火箭来发射人造卫星3.4药物在体内的分布3.5传染病模型3.6糖尿病的诊断3.7稳定性问题3.8捕食系统的Volterra方程3.9双种群生态系统3.10分布参数法建模§3.1微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方

2、程是十分常用的数学工具之一。例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：（3.2）由此即可得出（3.2）的解为:θ(t)=θ0cosωt其中当时,θ(t)=0故有MQPmg图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并

3、迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r(θ)，见图3-2。BAA1drdsdθθ图3-2由题意，，故ds=2dr图3-2可看出，故有:即:（3.3）解为：（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离，然后按（3.4）对数螺线航行

4、，即可追上潜艇。追赶方法如下：例3一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？解:以容器的底部O点为原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部摩擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：易见：故有：即：这是可分离变量的一阶微分方程，得RxySO图3-3hr例4一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒

5、为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1>T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3

6、与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。T1T2oxABT3ldt时间内通过距离O点x处截面的热量为：dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为：由泰勒公式：金属杆的微元[x,x+dx]在dt内获得热量为：同时，微元向空气散发出的热量为：系统处于热平衡状态，故有：所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解为了保持自然资源的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研

7、究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方便研究§3.2Malthus模型与Logistic模型模型1马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：或（3.5）（3.6）（3.1）的解为：其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。马尔萨斯模型的一个显

8、著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基