2015数学建模-微分方程模型ppt课件.ppt

《2015数学建模-微分方程模型ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微分方程模型成都东软学院数学建模培训微分方程模型（动态模型）在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。随时间(空间)变化的数量关系微分方程:含有未知函数的导数(或微分)的方程解一般的(常)微分方程或微分方程组可以写成：初值问题：一、微分方程模型的简单应用二、人口模型三、用Matlab软件求常微分方程的解析解

2、注意：数学建模问题通常没有标准答案，至多只有参考答案。只要是符合实际、言之有理的答案都是好答案。一、微分方程模型的简单应用思考题：有高为2米的球体容器盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米，试求放空容器所需要的时间。二、人口模型1.问题的提出2.假设和定义3.模型的建立4.分析和求解5.结论和讨论1.问题的提出人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科

3、学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.95认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。2.模型(Malthus模型)18世纪末，英国人Ma

4、lthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。r=0.2743/10年，xm=4.188数据拟合：r=0.2022/10年，xm=6.0450指数增长模型的应用及局限性：与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条

5、件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。2.5模型修改模型2Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：（3.7）r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得

6、到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(N)=r-aN此时得到微分方程：或（3.8）（3.8）可改写成：（3.9）(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比

7、，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。图3-5对（3.9）分离变量：两边积分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的满足初始条件N(0)=N0的解为：（3.10）易见：N(0)=N0，N(t)的图形请看图3.5Malthus模型和Logistic模型的总结Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用

8、模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学