数学建模微分方程模型及差分模型ppt课件.ppt

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1、微分方程模型及差分模型2012-3-171Anna微分方程模型人口增长的预测传染病模型种群模型2012-3-172Anna动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程.分析对象特征的变化规律.预报对象特征的未来性态.研究控制对象特征的手段.根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程.2012-3-173Anna微分方程模型高等数学课程里的微分方程应用题：大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问

2、题的答案，并且答案是唯一确定的.这里讨论的动态模型：要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件；作出不同的假设，就会得到不同的方程（模型）；结论也不是确定的、唯一的，求解的结果还要用来解释实际现象并接受检验.2012-3-174Anna对微分方程的研究方法解在很广泛的条件下存在，但能用有限解析式表达者很少.另辟它径：1、求数值解（近似解）；2、定性方法分析.2012-3-175Anna微分方程平衡点问题1．微分方程的平衡点及其稳定性为了简化，一阶微分方程我们主要讨论右端不显含自变量t的对应齐次常数变易，设则当时，是稳定的，当时平衡点是不稳定的。

3、背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19011929195319651982199019952000人口(亿)4.265.486.027.2510.3211.3012.0012.95研究人口变化规律控制人口过快增长人口增长的预测2012-3-1714Anna指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长2012-3

4、-1715Anna年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.42012-3-1716Anna美国人口统计数据指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民

5、后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)2012-3-1717Anna阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数2012-3-1718Annadx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)

6、2012-3-1719Anna参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.12012-3-1720Anna2012-3-17Anna21模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入200

7、0年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.02012-3-1722Anna人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程2012-3-1723Anna人口发展方程一阶偏微分方程2012-3-1724Anna人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）0tr2012-3-1725Anna生育率的分解~总和生育率h~生育模式02012-3-1726Ann

8、a人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反馈系统滞后作用很大2012-3-1727Anna人口指数1）人口总数2）平