数学建模-常微分方程模型及差分模型.ppt

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1、微分方程模型洛阳理工学院数理部1微分方程模型人口增长的预测传染病模型种群模型2动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程.分析对象特征的变化规律.预报对象特征的未来性态.研究控制对象特征的手段.根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程.3对微分方程的研究方法解在很广泛的条件下存在，但能用有限解析式表达者很少.另辟它径：1、求数值解（近似解）；2、定性方法分析.4背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年190119

2、29195319651982199019952000人口(亿)4.265.486.027.2510.3211.3012.0012.95研究人口变化规律控制人口过快增长人口增长的预测5指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长6年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976

3、.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.42012-3-177Anna美国人口统计数据指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)2012-3-178Anna阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞

4、作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数2012-3-179Annadx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)2012-3-1710Anna参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滞增长模型(Logistic模型)

5、r=0.2557,xm=392.12012-3-1711Anna2012-3-17Anna12模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.02012-3-1713Anna传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型2012-

6、3-1714Anna已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?2012-3-1715Anna模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型2012-3-1716Anna模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大2012-3-1717Anna模型3

7、传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~平均感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。2012-3-1718Anna模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<02012-3-171