《数学建模》课件：第7章 差分方程模型(投影版).ppt

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1、数学建模主讲教师：邵红梅第七章差分方程与代数方程模型差分方程稳定性理论简介一、差分方程的方程称为n阶差分方程。1.n阶差分的一阶差分：二阶差分：三阶差分：n阶差分：2.n阶差分方程形如关联起来而得到的方程。差分方程稳定性理论简介简单地说，把它的前n+1项所谓n阶差分方程，是指对于一个点列下面我们给出其准确的定义。的方程称为n阶线性常系数差分方程。3.n阶线性差分方程若方程的左端对变量都是线性的，即4.n阶线性常系数差分方程差分方程稳定性理论简介其中为函数,则称之为n阶线性差分方程。形如其中都是常数,接下来，我们讨论n阶线性常系数差分方程

2、的平衡点及稳定性问题。5.平衡点及稳定性在方程中令求得的方程的解6.特征方程差分方程稳定性理论简介若记该差分方程的一般解（通解）为称代数方程：称为该差分方程的平衡点（奇解）。它若满足：则称是稳定的，是不稳定的。否则，称对应的特征方程。为差分方程二、n阶线性常系数差分方程的平衡点和稳定性下面仅对1阶情形给予证明，其余情形证明思想类似。差分方程稳定性理论简介定理1考虑n阶线性常系数差分方程设其对应的特征方程的根为稳定的充要条件是：则方程(I)的平衡点不妨设一阶线性常系数差分方程为：其对应的特征方程为故特征根为那么由定理1得：它的平衡点稳定的

3、充要条件是下面证明这个结论.证明：差分方程稳定性理论简介于是有可见：由得：即平衡点稳定的充要条件是三、一阶非线性差分方程的平衡点和稳定性考虑方程其平衡点由代数方程解出。为了分析的稳定性，将f(x)在点作Taylor展开，只取一次项，方程（II）近似为显然该近似方程是一阶线性常系数差分方程，并且也是它的平衡点。于是由前面的结论知，其平衡点稳定的充要条件是而当时，可证明方程（II）与（III）的平衡点的稳定性相同，于是对于非线性方程（II）,其平衡点稳定的充要条件也是差分方程稳定性理论简介微分方程的差分方法一、微分的差分方法根据导数的定义：

4、于是，当分割足够细时，用差商代替微商，则得到如下差分公式：微分方程的差分方法在设函数一阶连续可微，任给一个分割：已知在节点的函数值试求函数在节点处的导数值的近似值。向前差分：向后差分：二、微分方程的差分方法若利用向前差分，有微分方程的差分方法给定一个分割：节点的近似函数值试求上述微分函数在该一系列不妨设上述节点都是等距节点，即考虑一阶微分方程则所以有：注意到一阶差分方程单步Euler法市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应

5、求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡gx0y0P0fxy0记xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0将时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期模型建立即以后商品的数量和价格将永远保持在P0点。xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x

6、0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定差分方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖

7、直模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件记1,2是方程的特征根注意到平衡点x0稳定的条件是：该差分方程对应的特征方程为显然，当时，所以此时平衡点x0不稳定。均是实数，且平衡点稳定条件比原来的条件放宽了当时，均是虚数，此时并且可见，若使平衡点x0稳定，即量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化量纲分析(DimensionalAnalysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在

8、经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。量纲齐次原则物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[