数学模型(差分方程)课件.ppt

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1、1.1差分方程1.2市场经济中的蛛网模型1.3减肥计划——节食与运动1.4差分形式的阻滞增长模型1.5按年龄分组的种群增长差分方程模型1.1差分方程给定一个数列，如果和数列中在它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数的整数都有效，则称这个方程为差分方程。例1汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为试建立关于的差分方程。解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要移

2、动次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B上，这需要移动1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B上，这又要移动次，于是得差分方程：例2设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月兔子对数，所以一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法形如的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中是常数，且方程(2)称为差分方程（1

3、）的特征方程。方程（2）的k个根称为差分方程（1）的特征根。定理1设差分方程的特征根互不相同，则该差分方程的通解为：其中为任意常数。定理2设是差分方程的特征方程相异的根，且是特征方程的重根，则该差分方程的通解为：其中定理3设差分方程的特征根出现一对共轭复根和k-2个不同实根则差分方程的通解为：其中例3.设初始值为，求差分方程的特解.解：该差分方程对应的特征方程为其根为：，所以故通解为代入初始条件有解之得:故所求初值问题的特解为：二.常系数线性差分方程的Z变换解法设有离散函数（数列），则的Z变换定义为其中z是复变量，因此级数的收敛域为某个圆的外部。的Z反变换记作(1

4、)单位脉冲函数的Z变换为1.几个常用离散函数的变换(2)单位阶跃函数的变换为(3)单边指数函数的变换为2.Z变换的性质(1)线性性设则其中为常数，收敛域为的公共收敛域。(2)平移性设，则a.特别地证：b.特别地证：例4.求齐次差分方程的解。解：令，对差分方程求变换得：对上式求Z的反变换得：这就是所求方程的解。二、常系数线性非齐次差分方程的求解形如的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中是常数，且定理4方程（3）的通解等于它对应的齐次差分方程（1）的通解加上它本身的一个特解，即其中是（1）的通解，是（3）的一个特解。注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参

5、照求常系数线性非齐次微分方程的特解的方法。例5求非齐次差分方程的通解。解：对应的齐次差分方程的特征方程为特征根为所以对应的齐次差分方程的通解为由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为代入原方程得故所求方程的通解为有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解例6求解汉诺塔问题：解：方法一由得两试相减得其特征方程为特征根为故通解为由知将代入得故所求问题的解为方法二对应的齐次差分方程的通解为观察有特解故通解为由初始条件得所求问题的解为例7求差分方程的通解。三、差分方程的平衡点及稳定性1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程的平衡点由解得，为

6、则平衡点是稳定的，否则是不稳定的。易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为的平衡点的稳定性问题。而方程（5）的解为所以当且仅当时，方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。对于n维向量常数矩阵A构成的方程组其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性考察二阶线性差分方程的平衡点的稳定性.(6)的通解为其中常数由初始条件确定,由(7)得,当且仅当时方程（6）的平衡点才是稳定的.与一阶线性差分方程一样,二阶线性非齐次差分方程的平衡点的稳定性与方程（6）相同.二阶线性方程的上述结果可以推广到n阶线性方程,即n阶线性方程

7、平衡点的稳定的条件是特征方程的根3.一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性一阶非线性差分方程的平衡点由代数方程解出,现分析的稳定性.将方程(9)的右边在点作泰勒展开,只取一次项,(9)近似为(10)是(9)的近似线性方程,也是(10)的平衡点,而当时,方程(9)与(10)的平衡点的稳定性相同,因此对于方程(9),是稳定的;对于方程(9),是不稳定的.1.2市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y

8、0P0fx