《理学差分方程》ppt课件

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1、第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基本概念8.2可分离变量的一阶微分方程8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6微分方程应用实例退出第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常

2、见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－4,问汽车是否会撞到小孩？解设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需

3、要的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differentialequation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程

4、，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条

5、件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。的解，称为微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initialvaluecondition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integralcurve).如是方程（1）的积分曲线族,而8.2可分离变量的一阶微分方程一阶

6、微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).例1求微分方程解首先分离变量，得以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在条件解分离变量，得例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子成正比，试确定种群生长规律。8.3一阶线性微分方程（lineardiffere

7、ntialequationoffirstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（methodofconstant）.将（5）式改写成两项之和的形式上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令

8、C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于