《差分方程方法》PPT课件

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1、数学建摸课程郭晓丽2021年7月20日主要内容第四章差分方程方法22021年7月20日常系数线性差分方程；差分方程的平衡点及其稳定性；连续模型的差分方法；案例分析：最优捕鱼问题。32021年7月20日一.常系数线性差分方程1.常系数线性齐次差分方程42021年7月20日(1)特征根为单根1.常系数线性齐次差分方程52021年7月20日(2)特征根为重根1.常系数线性齐次差分方程62021年7月20日(3)特征根为复根1.常系数线性齐次差分方程72021年7月20日2.常系数线性非齐次差分方程一.常系数线性差分方程82021年7月20日2.常系数线性非齐次差分方程一.常系数线性差分方程9202

2、1年7月20日二差分方程的平衡点及其稳定性1.一阶线性常系数差分方程的平衡点102021年7月20日二差分方程的平衡点及其稳定性2.一阶线性常系数差分方程组的平衡点112021年7月20日二差分方程的平衡点及其稳定性3.二阶线性常系数差分方程的平衡点二差分方程的平衡点及其稳定性4.一阶非线性差分方程的平衡点132021年7月20日三连续模型的差分方法1.微分的差分方法142021年7月20日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法152021年7月20日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法(1)复化的梯形公式：162021年7月20日三连续模型的差分方法2.定积分的差分方法类似地：复化辛

3、甫生（Simpson）公式;复化柯特斯（Cotes）公式等。（详见教材）（2）复化梯形公式：172021年7月20日1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题假设鱼可分为4个年龄组：称1、2、3、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为(个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和１龄鱼不产卵。卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为182021年7月20日渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的８个月内

4、进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3,4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:1。1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题192021年7月20日（1）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题202021年7月20日2.模型的假设与符号说明四、案例:最优捕鱼策略问题（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼

5、在下一年初成为一龄鱼；（4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；（1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；（2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；2.模型的假设与符号说明四、案例:最优捕鱼策略问题（6）四龄以上的鱼全部死亡；（7）采用固定努力量捕捞即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第k年底的i龄鱼的条数等于第k+1年初的i+1龄鱼的条数;21222021年7月20日2.模型的假设与符号说明四、案例:最优捕鱼策略问题232021年7月20日3.模型的建立与求解四、案例

6、:最优捕鱼策略问题（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型！！无捕捞时鱼群会无限的增长吗？？No!Idon’tknow!各龄鱼都不会无限地增长！242021年7月20日（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型3、模型的建立与求解定义252021年7月20日(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解262021年7月20日(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解272021年7月20日1)鱼群的增长规律求解(1)，(2)，并利用连续条件(3)282021年7月20日2)捕捞量将(1)的解析式代入292021年7月20日3)可持续性捕捞模型302021年7月20日3)可

7、持续性捕捞模型312021年7月20日3)可持续性捕捞模型322021年7月20日3)可持续性捕捞模型332021年7月20日3)可持续性捕捞模型342021年7月20日3)可持续性捕捞模型352021年7月20日!!说明：问题（２），请自己考虑。吃点水果下次再见！