差分方程方法

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1、第四讲差分方程方法与应用——模型举例差分方程建模•处理动态的离散型的问题•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题1市场经济中的蛛网模型2银行复利问题3抵押贷款买房问题4差分形式的阻滞增长模型5减肥计划——节食与运动6按年龄分组的种群增长7差分基础知识1蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y

2、0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk

3、~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条

4、件比原来的条件放宽了模型的推广2银行复利问题背景所付利息一年内复合n次，即把一年分n个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额分析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和任何时候都可以存款模型假设1.储蓄的年利率为r2.任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息t期结束时的总存款记号第t期内的新存款模型注：上式中n=2时，相应于半年的复利，而n=365则是相应于逐日

5、计算的复利3抵押贷款买房问题背景每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04元等额偿还，15年还清。(公积金贷款月利息为3.675‰）。问题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？假设贷款期限内利率不变银行利息按复利计算记号A（元）：贷款额（本金）n（月）：货款期限r：月利率B(元):月均还款

6、额Ck：第k个月还款后的欠款模型求解代入n=180、r=0.003675、B=1977.04结果：A=260000（元）一次性优惠价9.8折还款总额？利息负担总额？4差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论

7、x*的稳定性变量代换(2)的平衡点(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为x=0不稳定01/2101的平衡点及其稳定性初值x0=0.2数值计算结果b<3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4

8、118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61