差分方程方法建模.pdf

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1、第七章差分方程方法建模x7.1差分方程简介在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型称为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。(1)、函数的差分设自变量t取离散的等间隔整数值:t=0;§1;§2;¢¢¢，yt是t的函数，记作yt=f(t)。显然，y

2、t的取值是一个序列。当自变量由t改变到t+1时，相应的函数值之差称为函数yt=f(t)在t的一阶差分，记作4yt，即4yt=yt+1¡yt=f(t+1)¡f(t)由于函数yt=f(t)的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。其它定义：数列A=a0;a1;a2;a3;¢¢¢的一阶差分是4a0=a1¡a04a1=a2¡a14a2=a3¡a24a3=a4¡a3对每个正整数n，第n个一阶差分是4an=an+1¡an从图7-01中可以看到，一阶差分表示该序列两个相邻值的增加或减少，即

3、在一个时间周期里序列图中的垂直变化。1定义：一个序列就是定义域为全体非负整数集合上的一个函数，其值域为实数的一个子集。一个动力系统就是序列各项之间的一种关系。数值解就是满足该动力系统的一张数值表。按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数yt=f(t)在t的一阶差分的差分为函数在t的二阶差分，记作42y，即t42y=4(4y)=4y¡4yttt+1t=(yt+2¡yt+1)¡(yt+1¡yt)=yt+2¡2yt+1+yt依次定义函数yt=f(t)在t的三阶差分为43y=4(42y)=4

4、2y¡42yttt+1t=4yt+2¡24yt+1+4yt=yt+3¡3yt+2+3yt+1¡yt一般地，函数yt=f(t)在t的n阶差分定义为4ny=4(4n¡1y)=4n¡1y¡4n¡1yttt+1tXnkn(n¡1)¢¢¢(n¡k+1)=(¡1)yt+n¡kk!k=0上式表明，函数yt=f(t)在t的n阶差分是该函数的n+1个函数值，yt+n，yt+n¡1，¢¢¢，yt的线性组合。例1.1设y=t2+2t¡3，求4y，42y。ttt解4yt=yt+1¡yt=(t+1)2+2(t+1)¡3¡(

5、t2+2t¡3)2=2t+342y=y¡2y+ytt+2t+1t=(t+2)2+2(t+2)¡3¡2[(t+1)2+2(t+1)¡3]¡(t2+2t¡3)=2(2)、差分方程的基本概念定义：含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。由于差分方程中必须含有未知函数的差分(自变量、未知函数可以不显含)。因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。例如42y¡34y¡3y¡t=0就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函ttt数yt=f(t)在不同点的函数值的线

6、性组合。因此上述差分方程又可表示为yt+2¡5yt+1+yt¡t=0正因如此，差分方程又可定义为：含有自变量和未知函数在多个点的值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。n阶差分方程的一般形式可表示为F(t;y;4y;42y;¢¢¢;4ny)=0tttt或F(t;yt;yt+1;¢¢¢;yt+n)=0若把一个函数yt=f(t)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称yt=f(t)为差分方程的解。含有任意

7、常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程的通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件：一阶差分方程的初始条件为一个，一般是y0=a0(常数)；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是y0=a0，yi=a1(a0，a1是常数)；依次类推。线性差分方程的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。二阶线性差分方程的一般形式yt+2+a(t)yt+1+b(t)yt=f(t)3其中a(t)，b(

8、t)，f(t)均为t的己知函数，且b(t)6=0。若f(t)6=0，则上式称为二阶非齐次线性差分方程；若f(t)´0，则上式称为二阶齐次线性差分方程。定理1若函数y1(t)，y2(t)是二阶齐次线性差分方程的解，则y(t)=C1y1(t)+C2y2(t)也是该二阶齐次线性差分方程的解，其中C1、C2是任意常数。定理2(二阶齐次线性差分方程解的结构定理)若函数y1(t)，y2(t)是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解，则yC(t)=C1y1(t)+C2y2(t)是该方程的通解，其中C