数学建模差分方程

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1、差分方程模型在实际中许多变量是离散变化的，如人口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来解决离散型问题。在本节我们将介绍差分方程的求解方法以及在实际中的应用。差分方程是处理离散性问题的一种方法，在实际中有广泛的应用，它和微分方程是相辅相成的，对连续性数据的处理也可以采用离散的方法，这时也可以用差分方程。１．差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列，称为k阶差分方程，若有，满足：则称是差分方程的解包含k个任意常数的解称为的通解为已知条件时，称其为的初始条件通解中的任意常数都有初始条件

2、确定的解称为的特解形如：称为k阶线形差分方程，其中为已知的系数，且若差分方程中的，则称差分方程为k阶齐次线性差分方程，否则，称为k阶非齐次线性差分方程若有常数a是差分方程的解，即则称a是差分方程的平衡点若已知，则形如的差分方程的解可以在计算机上实现，下面给出一些理论上容易求解的特殊差分方程的解及其简单应用。一阶常系数线形差分方程：的通解为：二阶常系数线形差分方程：当时，它有一特解，当时，且时，它有一特解，不管哪种情形，是方程的平衡点，设方程的特征方程其解为：（1）当是两个不同实根时，方程的通解为：（2）当是两个相同实根时，方程的通解为：（3）当是一对共轭复根时，

3、方程的通解为：易知，当且仅当特征方程的任意特征根时，平衡点是稳定的二阶方程的上述结果可以推广到k阶线形方程，即k阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根均满足：（即均在复平面上的单位圆内）差分方程的求解方法和微分方程相似，为什么会这样呢？？？下面仅简单介绍一阶非线性差分方程：的平衡点的稳定性其平衡点由代数方程解出，为分析其平衡点的稳定性，将方程的右端在点作Taylor展开只取一次项近似为：（7）是（6）的近似线性方程，也是的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出。而当时，方程与的平衡点的稳定性相同，于是得到：（1）当时，对于非线性方程，是稳定的。（2）当

4、时，对于非线性方程，是不稳定的。1市场经济中的蛛网模型2减肥计划——节食与运动3差分形式的阻滞增长模型4按年龄分组的种群增长差分方程建模举例1市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…

5、=x0,yk+1,yk+2,…=y0xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使

6、尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广2减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的

7、运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超

8、过1.5千克，每周吸收热