数学建模案例分析3价格系统--差分方程方法建模

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1、§3价格系统一、蛛网模型记第个周期时某一种商品的价格为，居民对此商品的需求量为，假设和的关系为其中和为两个正常数。从上式看出，当价格上升时，需求量会减少；当价格下调时，需求量会增加。这与我们的常识是相符的。仍以记第个周期时该商品的价格。假设厂商生产该产品的数量和上一期的价格有关，即商品的生产早于商品的销售一个周期。这里隐含着所研究的商品是需要一定生产时间的商品，厂商根据上一周期商品的市场价格来安排下一周期产品的生产数量。这样的商品有别于市场上生产周期非常短（几乎“瞬时”可以生产出来）的商品。假设和的关系为这里和是正常数。从上式可以看到，若价格上涨，将会使供应量增加；若价格下

2、跌，将会使供应量减少。这与我们的常识也是相符的。市场规律是用调节价格的方法来使商品供求达到平衡：当供大于求时，降低价格能促进消费，使商品能全部销售出去；当求大于供时，提高价格会抑制消费，使相对短缺的商品满足部分愿意出较高价格的消费者的需求。总之我们可以得到供需平衡方程即整理后，我们可以将上述方程改写如下（1）此处。这是一阶常系数非齐次线性差分方程，我们可以求出它的通解是。当我们知道第1个周期的价格时，代入通解可确定后便得到特解。对参数的某些情况，我们在坐标系内画出了对应的价格和供应量关系。由于折线形如蛛网，该模型也称为蛛网模型。q38363432131211p1444560

3、753530252015530p0=8a=80,d=2b=4,c=10p0=25a=100,d=3b=2,c=-20pq268　　　　　　　　　　　　　　二、包含厂商价格期望的模型为此我们先介绍二阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。1、的算法解这个一元二次方程，得两个特征根。（1）若（2）若（3）若这里。2、的算法（1）次多项式（2）指数函数蛛网模型的更一般的形式是假设本期的供应量与厂商对本期价格的期望有关。例如：设此处是厂商对本期价格的期望。若，表示厂商认为本期的价格将和上一期的实际价格一样，这样得到的供应函数和前面相同。若取,表示厂商认为

4、本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量。当时，表示厂商认为价格还会延续上一期的趋势：上一期相对前一期上升，则本期的价格也将比上一期上升；上一期相对前一期下跌，则本期的价格也将比上一期下跌。当时，表示厂商认为价格的变化趋势会发生改变：上一期相对前一期上升，则本期的价格将比上一期下跌；上一期相对前一期下跌，则本期的价格反而将会比上一期上升。此时由供需平衡方程得整理后得到二阶常系数非齐次线性差分方程（2）为求解此方程，我们先求解一元二次方程（3）不妨设，则方程（3）有两个实数解和，于是方程（2）的解的一般形式为其中是两个任意常数。可以由具体情况产生的初始条件来确定。