数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载

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1、§3分派与装载生活和工作中经常碰到任务分派问题，如由5个人承担5项任务，由于各人的专长不同，他们完成各项任务的时间（或代价）不同，那么派谁去完成哪项任务使总的效率最高呢？类似的问题很多。例4车间有项加工任务，分派给个工人完成，每人完成其中一项。已知每个人完成各项任务的时间（其中有若干人不能完成某几项任务），问如何进行任务分派，使所需总时间最少？将工人编号为，任务编号为，第人完成第项任务的时间记为（若第人不能完成任务，则记，是充分大的正数），任务分派用如下的0——1变量表述：问题的目标函数——总时间为（1）约束条件为（2）（3）（4）其中（2）说明第

2、人只能完成一项任务，（3）说明任务j只能由一人完成。这里决策变量只能取值0和1，称为0—1整数规划。满足（2）~（4）的可行解可表为矩阵形式，其中每一行和每一列都必须有且只能有一个1，其余元素均为0。引入0—1变量解决任务分配问题还可以有其他方式，如例5工厂用种不同工艺生产种产品，每种产品的利润已知。在各种工艺条件下每种产品所消耗的资源（如原料）是确定的，并且工厂的总资源有一定的限制。问应选择哪种工艺，每种产品各生产多少，使总利润最高。用表示种工艺，表示种产品。已知单件的利润为，设在工艺下单件的资源消耗为，资源限制为。显然，的产量是决策变量，记为。

3、目标函数——总利润为（1）在任一种工艺下，资源限制都可以表为（2）为确定工艺的选择，引入0-1变量为了使（2）式个条件中只有被选中的某一个起作用，（2）式代之以（3）（4）（5）（6）其中是一个充分大的正数。这样，中有个取值1，这些对（3）是多余的，只有取值0的那个在（3）式中起作用，它就相应于被选中的工艺。于是问题归结为在条件（3）~（6）下求和，使（1）的最大，这是混合0-1规划模型。最优装载也是日常生活中经常碰到的问题，如空运若干种物资，每种物资的价值与装载上飞机的数量有关，而装载的总量受到飞机对重量、体积等条件的限制，问每种物资装载多少使空

4、运的总价值最大。这类问题具有类似的模型，试看下例。例6要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子宽、高相同，而厚度和重量不同，下表给出了它们的厚度、重量和数量。c1c2c3c4c5c6c7厚度（厘米）重量(千克)数量48.72000852.03000761.31000972.0500648.74000652.02000464.010008每辆平板车有10.2米长的地方用于装箱（像面包片那样），载重40吨。由于货运限制，对c5，c6，c7三种包装箱的装载有如下特殊约束：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。试把包装箱装到平板车上，使浪费

5、的空间最小。容易算出所有包装箱的厚度为27.495米，而两辆车共有20.4米长的地方，所以不可能全装上。记表中所给第种箱子c的厚度、重量和数量分别为，，，问题的决策变量是装载到两辆车上的数量，记c装到1，2辆车上的数量为。问题要求使浪费空间最小，等价于装载所占的空间最大，故目标函数可表为（1）约束条件包括厚度约束（2）重量约束（3）数量约束（4）特殊约束（5）自然约束为非负整数（6）问题归结为在条件（2）~（6）下求，使（1）式给出的最大，这是整数线性规划模型。