数学建模案例分析--最优化方法建模5产品试验与设计.docx

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1、§5产品试验与设计许多产品如橡胶、塑料、农药、饲料等都是由若干种原材料按一定配比混合加工而成，不同的原料配比既可影响产品的质量，也会影响企业的利润，于是存在着所谓最佳配比问题。另外，一些机电产品在设计或加工过程中的若干参数，也存在类似的优化问题，试看以下的例子。例10某种橡胶制品含有n种原材料A,4「’，An,制品的强度、硬度、变形率等指标与各种原材料的含量有关，试配合试验建立适当的数学模型。寻求最佳的原料配比。首先经过试验并结合一定的理论分析，确定各性能指标与原材料含量之间关系。记n种原料含量分别为x「x2，…，Xn,强度、硬度、变形率3个指标分别为y

2、i,y2,、3。取不同的原料配比作N组试验，得以下数据：乂住〃2口…，Xnk；yik，y2k，y3k(k=1,2，…，N)。设根据理论分析和经验，Xi,X2，…，Xn与yi,y2,y3间有函数关系。yj=fj(X1,X2,,Xn),j=1,2,31)然后，建立寻求最佳原料配比的数学模型。为简化问题，确定一个主要指标如强度作为目标函数，而将另外2个指标作为约束条件处理，这时模型可表为：MaXyi=fi(xl,Xn)(2)*S.t.f2(Xi,X2,,Xn)—y2(3)*f3(Xi,X2，…，Xn)

3、6)…，**其中y2是硬度指标下限，3是变形率的上限，(5)是将Xi,X2，…，Xn作为配比(%)而引入的。一般来说，这是一个非线性规划模型。实际上，由(D式确定yj=fj(Xi,X2；-1,Xn),j=i,2,3也可视为非线性规划问题，只不过当它们是线性函数时，问题化为线性规划，很容易求解。例11某厂生产n种饲料r,®…，阵，它们均由m种原料Qi,Q2,…，Qm配合而成，Qj在Pi中含量(百分比)的上限为uj,下限为lj。若Pi的售价为Pi(元/千克)，Qj的成本为qj(元/千（i=1,2，…，n,j=1,2，…，m），试确定各种饲料的产量及其原料配

4、克），Qj的供应量不超过口，比，使工厂的利润最大。决策变量是各种饲料的产量及其中各原料所占百分比。记R的产量为y,Qj在P中的比例为Xj。目标函数是工厂的利润，即总收入与总成本之差。Pi的收入为Ryi,而Qj在P中的成本为qjyiXj,于是利润为nnmZ=£Piyi-ZZqj^Xj（1）i4i4jJQj用量的约束条件为nZyiXij

5、归结为在条件（2）~（6）下求y,xj,使（1）式给出的Z最大。例12在汽轮机转子叶片的安装设计中有如下的问题：由于考虑到共振等因素，各个叶片的质量和形式需要微小的差别。这样当转子转动时，各个叶片产生的惯性离心力的大小就有差异，以至形成总的偏离轴心的作用力。设计中要将各叶片适当排列，让不同方向的离心力尽量抵消，使总的离心力达到最小。由于叶片数量很多（如一百以上），经验方法难以奏效，所以希望用建模方法找到最佳的叶片排列方案。假设有n个叶片，已知它们转动时产生的离心力的大小为口，（j=1,2，…，n）,转子的一周分为n等分，各分点表示安装叶片的位置，其幅角为

6、中k=2kn/n,（k=1,2，…，n）,于是当叶片j安装在位置k上时，产生的离心力（向量）可用复数f（j,k）-rjeik,eik二coskisink0—1变量表示。叶片的安装方案可以看作一个任务分派问题，我们引入1xjk=«0,叶片j安装在位置k否则nnnn='、、'fpCOSpk-；：q)XjkXpqj1k4p4q4(1)(2)(3)(4)则n个叶片的合力（向量）为问题的目标函数可取合力F的模的平方nniZ=XXrjexjkjmk」约束条件显然为n二Xjk=1,j=1,2,,nk4n“Xjk=1,k=1,2,,nj4Xjk=0,1j,k=1,2,,

7、n由于乘积项XjkXpq在（1）式中出现，这是一个二次规划模型。