《转载差分方程建模》word版

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1、转载差分方程建模原文地址：差分方程建模作者：HEY如差分方程的基本知识一、基本概念1、差分算子设数列，定义差分算子为在处的向前差分。而为在处的向后差分。以后我们都是指向前差分。可见是的函数。从而可以进一步定义的差分：称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。类似可定义在处的阶差分为：2、差分算子、不变算子、平移算子记，称为平移算子，为不变算子。则有：由上述关系可得：(1)这表明在处的阶差分由在，处的取值所线性决定。反之，由得：，得：,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量的

2、增量….第k层增量所构成。….得：(2)可以看出：可以由的线性组合表示出来3、差分方程由以及它的差分所构成的方程(3)称之为k阶差分方程。由(1)式可知(3)式可化为(4)故(4)也称为k阶差分方程(反映的是未知数列任意一项与其前，前面k项之间的关系)。由(1)和(2)可知，(3)和(4)是等价的。我们经常用的差分方程的形式是(4)式。4、差分方程的解与有关概念(1)如果使阶差分方程(4)对所有的成立，则称为方程(4)的解。(2)如果(为常数)是(4)的解，即则称为(4)的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设是(4)的解，考虑的变化性态，其中之一是极限状况，如

3、果，则方程(4)两边取极限(就存在在这里面)，应当有(3)如果(4)的解使得既不是最终正的，也不是最终负的，则称为关于平衡点是振动解。(4)如果令：，则方程(4)会变成(5)则成为(5)的平衡点。(5)如果(5)的所有解是关于振动的，则称阶差分方程(5)是振动方程。如果(5)的所有解是关于非振动的，则称阶差分方程(5)是非振动方程。(6)如果(5)有解，使得对任意大的有则称为正则解。(即不会从某项后全为零)(7)如果方程(4)的解使得，则称为稳定解。5、差分算子的若干性质(1)(2)(3)(4)(5)6、Z变换定义：对于数列，定义复数级数(6)这是关于洛朗级数。它的收敛域是：，其中可

4、以为，可以为0。称为的-变换。由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：(7)变换是研究数列的有效工具。变换的若干重要性质：(1)线性性(2)平移性质变换举例：(1),则(2)，则(3)设则(4)设则差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程(8)其中为常数，称方程(8)为常系数线性方程。又称方程(9)为方程(8)对应的齐次方程。如果(9)有形如的解，带入方程中可得：(10)称方程(10)为方程(8)、(9)的特征方程。显然，如果能求出(10)的根，则可以得到(9)的解。基本结果如下：(1)若(10)有k个不同的实根，则(9)有通解：，

5、(2)若(10)有m重根，则通解中有构成项：(3)若(10)有一对单复根，令：，，则(9)的通解中有构成项：(4)若有m重复根：，，则(9)的通项中有构成项：综上所述，由于方程(10)恰有k个根，从而构成方程(9)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：如果能得到方程(8)的一个特解：，则(8)必有通解：+(11)(1)的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入(8)中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z变换F(z)来表示出的Z变换

6、，然后通过解代数方程求出F(z)，并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的例1设差分方程，求解：解法1：特征方程为，有根：故：为方程的解。由条件得：解法2：设F(z)=Z(),方程两边取变换可得：由条件得由F(z)在中解析，有所以，3、二阶线性差分方程组设，，形成向量方程组(12)则(13)(13)即为(12)的解。为了具体求出解(13)，需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：(1)如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。(2)将A分解成为列向量，则有从而，(3)或者将A相似于

7、约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1)k阶常系数线性差分方程(8)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(10)所有的特征根满足(2)一阶非线性差分方程(14)(14)的平衡点由方程决定，将在点处展开为泰勒形式：(15)故有：时，(14)的解是稳定的，时，方程(14)的平衡点是不稳定的。差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致