《差分方程例子》word版

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1、第八章差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。8.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表8.1中国人民银行贷款利率表贷款期限半年一年三年五年五年以上利率﹪6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相

2、应调整。表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。表8.2上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限一年二年三年四年五年利率﹪6.126.2256.3906.5256.660表8.3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限一年二年三年四年五年月还款（元）到期一次还清本息总和（元）10612.00444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定

3、的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。设贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元,则由Ak变化到Ak+1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r,从而得到=r-m或者Ak+1=(1+r)A

4、k-m,k=1，2…(8.1)初时条件111A0=10000(8.2)这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率R=0.06255平均。即r=0.06255/12=0.00512125(8.3)若m是已知的,则由(8.1)式可以求出Ak中的每一项,我们称(8.1)式为一阶差分方程。模型解法与讨论（1）月还款额二年期的贷款在24个月时还清,即A24=0(8.4)为求m的值,设，k=1,2,…(8.5)易见于是导出Bk的表达式Bk=B1(1+r)k-1,k=1,2,…(8.6)由(8.5)式与(8.6)式得Ak-A0=B1+B2+…+Bk=B1[1+(1+r)+…

5、+(1+r)k-1]=(A1-A0)[]=[(1+r)A0-m-A0][[]从而得到差分方程(8.1)的解为Ak=A0(1+r)k-m[(1+r)k-1]/r,k=1,2,…(8.7)将A24,A0,r的值和k=24代入得到m=444.36(元),与表8.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表8.2商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表8.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12﹪是一年

6、期,而在表8.1中是上一档半年期,6.66﹪是五年期而在表8.1中是上一档三年期。其次再考察表8.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。(2)还款周期我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(8.7)式中的利率r代之以年利率R=0.06255,那么由k=2,A2=0,A0=10000,则可以求出年还款额应为=5473.87(元)这样本息和总额为2

7、=10947.73(元)远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。（3）平衡点回到差分方程(8.1),若令Ak+1=AK=A,可解出111A=m/r(8.8)称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值A0=m/r时,将恒有Ak=m/r,k=0,1,…。在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率r和月还款额m是固定的,则当初贷款额稍大于或小于m/r时,从方程(8.1)的解的表达式(8.7)中容易看出，欠款额Ak随着k的增加越来越远离m/r,

8、这种情况下的平衡点称为不