《习指稿差分方程》word版

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1、差分方程[教学基本要求]1.了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念。2.掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。3.会求解某些特殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解。4.会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题。差分与求导很相似，，式中的分母在求导时是趋于零的，在差分时是等于1的，所以差分与求导的四则运算法则也有相似的形式。求解差分方程与求解微分方程的第一步相同，都要先判断方程的类型，阶数、齐次非齐次，特征方程的特点，确定相应的解题方法。一阶、二阶常系数齐次差分方程的通解及它们的非齐次

2、差分方程的特解的求解思想，都可依照常系数微分方程的特征方程、特征根、设定特解采用待定系数法求特解的全套办法，整体模仿。差分方程的解的结构，与微分方程完全对应。[知识要点]1．差分的定义，差分的阶。2．差分方程，差分方程的阶，差分方程的解，特解，线性无关的解的线性组合，通解。差分方程的阶数：在求解时有用，故化为不带△的形式后的阶数有实际意义。3．解的结构：非齐方程通解（相应齐方程通解+非齐方程一个特解）4．一阶常系数线性差分方程无论是齐次方程或非齐次方程，可以用迭代法求通解，比较繁。多采用一般方法：①相应

3、一阶齐次线性差分方程设解为，得特征方程，特征根，齐次方程通解②时称为非齐次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。（常数）试解设为试解设为为n的t次多项式试解设为试解设为均为常数），试解设为，试解设为设设5．二阶常系数线性差分方程其中为常数①相应二阶常系数齐次线性差分方程设解为代入，得特征方程可解出特征根和。（与微分方程相似）*两个相异实根：齐方程通解*二重根：齐方程通解*两个共轭复根：由和，可知，，，所以特解1：特解2：重新组合出两个新的线性无关的特解，再叠加成齐次方程的通解：②时称为非齐

4、次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。非齐次方程通解的结构：相应齐方程通解+非齐次方程一个特解（待定系数法求特解在设定特解的形式时也要参照题目中的条件而定，比较繁琐，不在此赘述。请参看朱来义著《微积分》P340表10-2）[典型例题]例1．求差分方程的通解。解：特征方程特征根齐方程通解因故设代入原方程=整理比较系数原差分方程通解例2．求差分方程的通解。解：特征方程，特征根，齐方程通解，因设特解，代入原方程化简解出，故原方程通解；例3．求差分方程的通解。解：特征方程，特征根，齐方程通解因，

5、故设，代入原差分方程，化简为解得，，故原差分方程通解.例4．求差分方程的通解。解：特征方程，特征根,得到齐方程通解；设特解代入原差分方程，，化简为，解得，，所以；原二阶常系数非齐次差分方程的通解；注1：解的过程都是代数运算，没有难度，须注意不出计算错误，所得解是否正确还可以代回原方程进行验算。非齐次差分方程特解的设定若不合适，待定系数时会发现有问题，须对设定做调整。若有初始条件，代入通解确定任意常数即可。注2：差分方程在经济问题中的应用请看教材中的例题。[课堂练习]一、填空题1．差分方程的通解_____

6、___________2．差分方程具有形如_______________的特解。3．某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再增加2百万元，若以表示第n年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是___________________________.4．已知是差分方程的两个特解，则____________,______________.二、选择题1．在x=1处的二阶差分是（）。A．1B．2C．3D．02．差分方程的阶数为（）。A．1B.2C.3D.43．差分方程的通解是（）A.B.C.D.

7、4．下列差分方程中，不是二阶差分方程的是（）A.B.C.D.三、解答题1．求差分方程的通解2．求差分方程的通解。3．求差分方程通解，再求时的特解4．求差分方程通解，再求时的特解.5．求差分方程的通解.答案与提示一、填空题1．（改变形式后再解。可取不同变量符号）2。3．(百万元)4．（二元一次方程组）二、选择题1．B2．C（以展开化简为运算时的形式为准）3．D4．C三、解答题1．2．解:齐通,因a≠-1故设特解代入方程，比较系数得,即，所以原方程通解为：.3．解:,所以齐通，非齐特通解。再用解出故满足条件

8、的特解为.4．解：由得齐通设特解（由取），所以，从而原方程的通解+4.再由已知条件和解出，，故满足条件的特解为.5．解：由解出，，tgq,q，原方程通解.单元测试一、填空题1．的一阶差分是____________________.2．是______阶差分方程.3．是差分方程的一个特解，则______，_____。4．差分方程的通解为___________________________。5．差分方程的阶数为_________。二、单项选择1