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《第3讲 差分方程建模基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三部分差分方程建模基础二．市场经济中的蛛网模型三．减肥计划——节食与运动四、差分形式的阻滞增长模型一．差分方程概念与举例1对外经济贸易大学应用数学系一．差分方程概念与举例1．差分概念：设函数 ，当自变量依次取遍非负整数时，相应的函数值排成一列将之简记为称为函数点 的差分，记做 即一阶差分的差分叫做二阶差分，即类似可以定义高阶差分，ｋ阶差分为2对外经济贸易大学应用数学系３.差分方程的解含有未知函数的差分或未知函数几个不同时期值的方程称为差分方程．出现在差分方程中未知函数下标，的最大差，称为差分方程的阶．如下
2、方程都是二阶方程．２.差分方程如果一个函数代如差分方程，使方程两边恒等，则称此函数为差分方程的解．若在差分方程的解中，含有相互独立的任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这个解为差分方程的通解．3对外经济贸易大学应用数学系例1．汉诺塔问题:n个大小不同的圆盘依其半径大小套在桩A上,大的在下,小的在上.现要将其n个盘移动到空桩B或C上,但要求依次只能移动一个盘且移动过程中,始终保持大盘在下,小盘在上.移动过程中桩A也可以利用.设移动n个盘的次数为,试建立关于的差分方程.ABC解先将A上的n-1个盘按题设要求移到
3、C上,这需要移动次,再A盘上最大盘移动到B上,这需要移动一次,最后将C盘上的n-1个盘按要求移动到B上,,这需要移动次,于是得差分方程４．差分方程举例4对外经济贸易大学应用数学系例2．裴波那契（Fibonacci)数列设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两个月后为成兔，同时第三个月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，拭建立关于的差分方程。解 因第ｎ月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题设知，当月生的的小兔等于前月末的兔数，所以称为裴波那契
4、（Fibonacci)数列5对外经济贸易大学应用数学系(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性差分方程的平衡点6对外经济贸易大学应用数学系问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律.商品数量与价格在振荡二:市场经济中的蛛网模型7对
5、外经济贸易大学应用数学系gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0供应函数蛛网模型8对外经济贸易大学应用数学系设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型xy0fgy0x0P09对外经济贸易大学应用数学系
6、在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致10对外经济贸易大学应用数学系~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.经济稳定结果解释11对外经济贸易大学应用数学系经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0g
7、fxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直12对外经济贸易大学应用数学系生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件模型的推广13对外经济贸易大学应用数学系方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了!模型的推广生产者管理水平和素质的提高对市场的稳定有利影响的必然结果14对外经济
8、贸易大学应用数学系背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析体重变化由体内能量守恒破坏引起.饮食（吸收热量）引起体重增加.代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.三．减肥计划——节食与运动15对外经济贸易大学应
