2、型1．常系数线性齐次差分方程的解法形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0（1）(其中bi为常数，bk≠0,n>=k.)的差分方程，称为{an}的k阶常系数线性齐次差分方程。Xk+b1xk-1+…+bk=0为上述差分方程的特征方程，其根称为特征根。解分为三种情况：（1）单根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k个相异的特征根x1,x2,…,xk，则an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一个通解，其中ci为常数，由初始条件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1可确定一个满足初始条件的特解。二差分方程解法（2）重
3、根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0的相异特征根x1,x2,…,xt，重数依次为m1,m2,…,mt,m1+m2+…+mt=k，则差分方程的通解为（3）共轭复根若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有一对共轭复根,和相异的k-2个实根x3,…,xk，则差分方程的通解为，其中常系数线性非齐次差分方程的解法形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=f(n)（1）(其中bi为常数，bk≠0,n>=k,f(n)≠0)的差分方程，称为{an}的k阶常系数线性非齐次差分方程。非齐次差分方程的通解等于对应的齐次差分方程的通
4、解加上非齐次差分方程的一个特解。2.返回三、差分方程的平衡点及稳定性1．一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1）的平衡点由x+ax=b解得，为，当时，若xkx*，则x*是稳定的。方程（1）的平衡点的稳定性问题可以通过变量代换转换为齐次方程xk+1+axk=0,k=0,1,2…(2)的平衡点x*=0的稳定性问题。而对于方程（2），其解可以表示为xk=(-a)kx0,k=1,2,…(3)所以当且仅当
5、a
6、<1时，方程（2）（从而方程（1））的平衡点是稳定的。对于n维向量x(k)和n╳n常数矩阵A构成的方
7、程组x(k+1)+Ax(k)=0其平衡点稳定的条件是A的特征根λi,I=1,2,…，均有
8、λi
9、<1。2．二阶线性差分方程的平衡点及稳定性考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0(4)在平衡点x*=0的稳定性。为求（4）的通解，先写出他的特征方程记它的根为λ1，λ2，则（4）的通解可以表示为，其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定，从而可知，当且仅当
10、λ1
11、<1,
12、λ2
13、<1时方程（4）的平衡点是稳定的。3一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk)(7)的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。将（7）的
14、右端在x*点做泰勒展开，只取一次项，则（7）可以近似为：（8）x*也是（8）的平衡点。线性方程（8）的平衡点的稳定性讨论同（1），而当
15、f’(x*)
16、≠1时（7）与（8）的平衡点的稳定性相同。从而有：当
17、f’(x*)
18、<1时，方程（7）的平衡点是稳定的；当
19、f’(x*)
20、>1时，方程（7）的平衡点是不稳定的。返回四、建模案例--最优捕鱼策略问题简介生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持续收获的前提下追求最大经济效益。考虑4个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼的某鱼类。该鱼类在每年后4个月产卵繁殖。因而捕捞只能在前8个月进行。每年投入的捕捞能力不变，单位时间
21、捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。且只能捕捞3、4龄鱼，两个捕捞强度系数比为0.42：1。即为固定努力量捕捞。鱼群数据为：(1) 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g）;(2) 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109╳105（个），3龄鱼为其一半；(3) 卵孵化的成活率为1.22╳1011/（1.22╳1011+n）(n为产卵总量)；问题描述如下：如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；合同要
