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1、差分方程—种群模型课本上的模型考虑的是人口/种群的总量变化，在实际问题中，还要考虑种群的组成结构简单的种群增长模型假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长模型。假设:（1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅考虑母鹿的增长情况；（2）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似用实数来表示；（3）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组,其余的称为成年组；简单的种群增长模型假设:（4）将时间离散化,每年观察一次,分别用xn、yn表示第n年的幼鹿数及成年鹿数，且
2、假设各年的环境因素都是不变的;（5）分别用b1,b2表示两个年龄组鹿的出生率,用d1,d2表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记s1=1-d1,s2=1-d2;（6）鹿的数量不受自然资源的影响;（7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s，t1=sb1,t2=sb2简单的种群增长模型根据以上假设,建立模型如下n=0,1,或写成矩阵形式简单的种群增长模型令则模型可表示为于是可得到un=Anu0，即其中x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。xn、yn的解法假如A可以对角化,先将A对角化,如不能对角化,则将其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理,令得到特
3、征方程判别式特征方程有两个相异的实根,因此A可以对角化。对应的特征向量分别为xn、yn的解法由此得到因而xn、yn的解法最终有即其中Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。Leslie人口模型模型假设(1)将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女
4、性最大年龄为S岁，将其等间隔划分成m个年龄段（不妨假设S为m的整数倍），每隔S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2)记ni（t）为第i个年龄组次观察的女性总人数，记n（t）=[n1（t），n2（t），n3（t），…nm（t），]T。第i年龄组女性生育率为bi（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为di，记si=1-di，假设bi，di不随时间变化;Leslie人口模型模型假设(3)不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4)生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。SettinguptheL
5、eslieMatrixConceptofpopulationvectorBirthsDeathsPopulationVectorN0N1N2N3….Nss+1rowsby1column(s+1)x1Where,s=maximumageBirthsN0=N1F1+N2F2+N3F3….+FsNsNewborns=(Numberofage1females)times(Fecundityofage1females)plus(Numberofage2females)times(Fecundityofage2females)plus…..Note:fecund
6、ityhereisdefinedasnumberoffemaleoffspringAlso,theterm“newborns”maybeflexiblydefined(e.g.,aseggs,newlyhatchedfry,frythatsurvivepastyolksacstage,etc.MortalityNa,t=Na-1,t-1SaAnotherwayofputtingthisis,forage1forexample:N1,t=N0,t-1S0-1+N1,t-1(0)+N2,t-1(0)+N3,t-1(0)+…Numberatageinnex
7、tyear=(Numberatpreviousageinprioryear)times(Survivalfrompreviousagetocurrentage)LeslieMatrixN0N1N2N3….NsF0F1F2F3….FsS0000….00S100….000S20….0….0000Ss-10=N0N1N2N3….Ns(s+1)x1(s+1)x(s+1)(s+1)x1LeslieMatrixN0N1N2N3….NsF0F1F2F3….FsS0000….00S100….000S20….0….0000Ss-10=N0N1N2N3….Nssx1sx
8、ssx1LeslieMatrixN0N1N2N3….NsF0F1F2F3….FsS0000….00S100…
