双曲型方程的差分方法ppt课件.ppt

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1、2.3双曲型方程的差分方法计算力学基础第二章有限差分方法2.3.1一阶线性常系数双曲型方程它的解为：推导：令：1）迎风格式（upwindscheme）迎风格式就是将解沿特征线传播看成是“风”，当风从右边(a<0)吹来，迎风作向前差商；当风从左边吹来(a>0)，迎风作向后差商，这样构造得差风格式是稳定的。从生活常识上来说，当你突然闻到飘来的花香，你自然会迎风去搜寻，从数学上讲，这就是符合特征线的走向差分离散处理。该格式是绝对不稳定的差分格式。1954年，Lax和Friedrichs为克服上述格式的不稳定性，提出了如

2、下的差分格式：2）Lax-Friedrichs格式该格式称为Lax-Friedrichs格式，也称为Lax格式。讨论：1)稳定性条件为；2)截断误差为，一般取所以该格式为一阶精度。3)该格式可以不考虑对应的微分方程的特征线的走向，而迎风格式需考虑特征线的走向。为此，我们也可以把迎风格式写成统一的形式：上两式是左边相同，他们都以趋近于对流方程。因此这两种格式的截断误差取决于两式的右端项的大小。由稳定性限制要求有，如果，上两式相等。但在实际中总是取，因此Lax-Friedrichs格式的截断误差（Trunctione

3、rror）TE比迎风格式TE大。而Lax-Friedrichs可写为：实际上，这两种格式还是有很大的区别，现仅从截断误差来考虑，现假设a>0，此时迎风格式可写为：由：可得：把上两式代入（B）式，得(C)（B）3）Lax-wendroff格式迎风格式和Lax格式是一阶精度的差分格式，1960年Lax和Wendroff构造出一个二阶精度的格式。而：把此两式代入(C)式，得：略去高阶项，可以得到如下的差分格式：（D）差分格式（D）称为Lax-wendroff格式。讨论：1该格式的稳定性条件为2二阶精度显示格式。我们也可

4、以建两步Lax-wendroff格式，对（D）式进行改造：这样，上式就可写为：（E）差分格式（E）称为两步Lax-wendroff显示格式。由（C）式有：而：4）MacCormack二步二阶精度的显示格式把　和　　代入（C）式，得：（F）略去高阶小量，可得如下的差分格式：（G）若引入：则有：将向前、向后差商代入上两式，得：或者：5）蛙跳格式利用双曲型方程的解在特征线为常数这一事实也可以构造出以上差分格式。为确定起见，不妨设a>0。设在时间层上网格点和上的值给定。现计算时间层上的网格点点的值。假定条件成立，过点特征

5、线与交于，由解的性质可知，，当不是网格点时，是未知的，但可以用插值方法给出近似值。6）利用特征线构造差分格式两点线性插值：三点抛物线插值：(1)利用两点线性插值由此可推导出差分格式：迎风格式(2)利用两点进行线性插值由此得到：改写为：Lax-Friedrichs格式(3)如果使用和三个点进行抛物插值，则得到由此可得差分格式：Lax-wendroff格式(4)如果用三点进行抛物插值此格式为二阶精度，该格式由R.M.Beam和R.F.Warming于1976年引入，一般称为Beam-Warming格式。这是二阶迎风格

6、式。对Beam-Warming格式，当时，格式变为稳定性条件为，对于固定空间步长，时间步长限制较宽，这有利于实际计算。例子考虑初值问题：其中：取，，用Lax-Friedrichs格式，迎风格式，Lax-wendroff格式以及Beam-Warming格式，计算到计算结果与处置问题的解析解。解：从图中可以看得出以下结论：1）对于Lax和迎风格式，把解抹平了。这是数值耗散的结果。2）对于Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式，解出现了振荡。模型方程的典型差分格式：格式名称格式表达式稳定性条件迎风格

7、式Lax格式Lax-wendroff格式Leap-Frog格式两步Lax-Wendroff格式MacCormack格式Beam-Warming格式