双曲型方程的差分方法（II）ppt课件.ppt

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1、（二）一阶线性常系数方程组双曲型方程组：如果A的特征值是实的，并存在非奇异矩阵S使得对称双曲型方程组：A对称严格双曲型方程组：A的特征值是实的并且互不相同是A的特征值2讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组有两个相异的特征根取A的两个线性无关的特征向量作为S的列向量双曲型微分方程组.非耦合系统3例如耦合系统非耦合系统即取1.Lax-Friedrichs格式为P阶单位矩阵是A的特征值为格式稳定必要条件满足VonNeumann条件即时证明：由于为Lax-Friedrichs格式稳定充分条件P33定理3.5为对角

2、阵为稳定充要条件8证明：2.Lax-Wendroff格式9建立差分格式—LW格式用中心差商代替偏导数舍去截断误差,有LW差分格式.证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论。3.迎风格式VonNeumann条件满足为对角阵正规阵见Page32（三）变系数方程及方程组1.变系数方程冻结系数法：简单实用非严格稳定性讨论用能量不等式方法：严格有技巧a(x,t)>0见上图a(x,t)<0见下图整理得:稳定性条件为:解冻系数,稳定性条件为:下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性；附加：能量分析法讨论稳定性(严格

3、)稳定性条件为:Taylor展开：代入Taylor展开式,于是有得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式2.变系数方程组(自学)28（四）二阶双曲型方程1.波动方程的初值问题c为常数D’Alembert公式波动方程化为一阶双曲型方程组初始条件2.波动方程的显格式不匹配为匹配精度，采用虚拟节点等价的一阶方程组稳定性34是否为稳定充分条件？则VonNeumann条件满足，为稳定必要条件（否）见P6336373.波动方程差分格式的C.F.L条件AB为差分格式解在P点的依赖区域。DE为微分方程解

4、在P点的依赖区域。DA，BE处初值的变化无法影响差分格式的解，因此差分格式的解不会收敛到微分方程的解。微分方程依赖区域:特征线依赖区间在t=0所截区间依赖区间按前面两种边界离散方式，第n层差分格式的解依赖初始函数f(x),g(x)在点集上的值依赖区域为过点的两条直线与x轴相交而得其中差分方程依赖区域:时不稳定(Page63)4.波动方程的等价方程组的差分格式一阶双曲型方程的各种格式均可使用，如课堂练习P817.试构造求解方程组的迎风格式.(Page71)