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《椭圆型方程的有限差分方法（II）ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1求解代数方程组Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角分解,追赶法,QR分解等迭代方法:基本迭代法,预处理迭代法,多重网格法等Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法其它迭代法Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解3Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为4Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为5Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为6Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi迭代法分量形式8Jacobi迭代法求解代数方程Au=fJacobi迭代法初始向量
2、,人为选定计算计算……计算称为迭代阵9Guass-Seidel迭代法求解代数方程Au=f将A分解G-S迭代法A为T矩阵矩阵时,G-S迭代法收敛速度是Jacobi法两倍G-S迭代法矩阵形式分量迭代法计算公式为11超松弛迭代法求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵将A分解Guass-Seidel迭代法解超松弛迭代法求解代数方程Au=f13逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOverRelaxationMethodSOD迭代的矩阵形式SOD迭代的分量形式14逐次超松弛迭代法(SOD)15例：解线性方程组解:SOR迭代格式16对于矩形区域possion方程
3、第一边值问题差分格式17微分方程差分格式解u=u(x,y)解u=un实用性分析:相容性收敛性稳定性（二）五点差分格式的性质1.存在唯一性只需证明齐次方程只有零解2.差分方程解的收敛性收敛性：h→0,k→0时，差分方程的解逼近于微分方程的解。定理:设是定义在上的函数，那么有其中a为矩形区域D的x方向的边长。证明：定义则由定义定理：如果第一边值问题二阶收敛的解在上有四阶连续的偏导数，则五点差分格式收敛并有估计证明：设u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解25复习:法线方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量为:2平面曲线F(x,y)=0在点(x,y)处的法向
4、量:空间曲线F(x,y,z)=0在点(x,y,z)处的法向量:（三）边界条件的处理矩形区域(2)第三类边界条件(1)第一类边界条件第二类边界条件四周增加一排一排节点可用内点的差分格式在边界上成立得到的有关等式与边界离散相应的式子来消去28即下边界时条件为例：其中29在下边界任取一边界点那么用中心差商代替一阶偏导数用代替用代替离散方法：30在边界点离散方程,例如五点格式,有两式联立,则可以得到一个与无关的方程处理稍有不同.31特别这样,每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和内点按照自然顺序排列,定义两边除以2(角点除以4),则有这些差分方程组可以写为一个
5、代数方程组32分析一下系数矩阵对于第一类边界条件,有I+2行上边界I+2行下边界为I+2维方阵I+2I+2I+2列I+2列33例:解:布矩形网格(1)内点(2-5)四边界(6)两个角点(7)分析其中三个块矩阵34(1)内点将h=1/4代入整理,有35(2)左边界由内点差分格式增设虚点,利用中心差商,得(-1,1)(0,1)即(-1,2)(0,2)(-1,3)(0,3)(-1,0)(0,0)(-1,4)(0,4)两边同除以236(3-4)上下边界同(2)有(5)右边界37(6)两个角点对于(0,0)点,按左边界离散得按下边界离散得按方程离散得三式联立,消去虚设
6、点,得两边同除以4,得38对于(0,4)点,同理可得令那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中E0K39(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E140分析E1和K(0,1):(i,1):412.一般区域网格点内部网格点集合边界节点集合1）直接转移法S在P不在选与P最靠近的网格线交点T第一边界2）线性插值T,Q两点做线性插值（1）边界点P在外法线与坐标轴平行第三边界外法线与坐标轴不平行（2）边界点Q不在（四）变系数方程1.直接差分法2.有限体积法适合处理系数有间断，步长不等距问题，具有保持能量守恒等优点。为内点为P四邻点为中点在阴影区域上积分由
7、中矩形公式（五）双调和方程（六）特征值问题可用变量分离法作业
