双曲型方程的有限差分法（III）ppt课件.ppt

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1、（五）双曲型方程及方程组的初边值问题1.二阶双曲型方程的边界处理构造二阶精度的边界条件确定a,b,c？得方程组确定a,b,c得方程组右边界二阶精度的边界条件2.一阶双曲型方程及方程组的边界条件对流方程怎样给边界条件使方程适定，区域为X=1不能给边界条件X=0不能给边界条件（初始条件）为对角阵对角线元素为负的对角阵为对角阵对角线元素为零的对角阵为对角阵对角线元素为正的对角阵S为A的特征向量的列所构成的矩阵-0+处边界条件数目等于负特征值数目处边界条件数目等于正特征值数目零特征值不需给出边界条件-0+3.一阶双

2、曲型方程及方程组的数值边界处理n+1npQ实际上是迎风格式数值边界条件（人工边界条件）注：采用插值法构造边界条件要用内插公式，使用外推方法往往是不行。即要用稳定的格式构造边界条件.例如：下面的两个不可用的边界条件再如（对边值不稳定）注：改进即为上页（2）例：考虑微分方程组（半无界问题）定解条件为：思考：不能给出v(x,t)在x=0处的边界条件，否则问题不适定。采用Lax-wendroff格式需要附加边界条件方法一、从特征形式出发特征型:采用迎风格式方法二、从方程本身出发已知边界条件有：利用第一个方程：利用第

3、二个方程：见72页1一阶双曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二维问题此格式是一阶精度的。下面讨论稳定性：那么VonNeumann条件条件满足，格式稳定。(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylor展开，有(3)分数步长法(局部一维格式)例如：以Lax-Wendroff格式来完成二步法显式格式稳定性有条件限制，多维的更加严格，因此考虑隐格式。（4）隐式格式全隐格式Crank-Nicolson格式由于隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，因此求解不甚顺利，解决方案：交

4、替方向隐式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）26（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隐式格式ADI-1：局部一维格式X方向隐格式Y方向隐格式等价于ADI-2：二维Beam-Warming格式X方向隐格式Y方向隐格式无条件稳定ADI格式优点：每一步系数矩阵为三对角矩阵，可以利用追赶法，避免整体迭代带来的巨大计算量29则称方程组是双曲型方程组。如果A,B为实对称阵，则方程组是双曲型方程组，也称为对称双曲型方程组。2.一阶双曲型方程组下面

5、以Lax-Wendroff格式为例，讨论差分方程：利用多元Taylor展开，有故有：利用Fourier方法可讨论上式的稳定性：可得增长矩阵：如果A,B是对称阵，可以证明Lax-Wendroff格式的稳定性条件是：为放宽稳定性条件，有许多改进技术。如：Strang方法