抛物型方程有限差分法

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1、抛物型方程有限差分法1.简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1)，其中为常数。是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2）,第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件：,及边值条件，假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，,；,将矩形域分割成矩形网格。其中表示网格节点；表示网格内点（位于开矩形中的网格节点

2、）的集合；表示位于闭矩形中的网格节点的集合；表示-网格边界点的集合。表示定义在网点处的待求近似解，，。注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）：可得到以下几种最简差分格式（一）向前差分格式，==0其中，。取为网比，则进一步有=+++此差分格式是按层计算：首先，令，得到=+++于是，利用初值和边值==0，可算出第一层的，。再由取，可利用和==0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视为的近似值。若记，，则显格式可写成向量形式其中若记那末截断误差（1.5）==。其中是矩形，中某一点。事实上，+=+===。这

3、里故，从而（一）向后差分格式，==0其中，。取为网比，则进一步有+=+按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一层的，，即求解方程组：+=+，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视为的近似值。直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。1.2.3Grank-Nicholson法将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：，==0进一步，+=++按

4、层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一层的，，即求解方程组：+=++，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。若记那末截断误差（1.7）=。注意：=又两式相加而+故有。（四）Richardson格式（1.10）+进一步=（+）++2这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够逐层进行，除初值外，还要用到。它可以用其他双层格式提供。Richardson格式的矩阵形式为：其中我们着重介绍了以上四种差分格式（还可以作出许多逼近（1.1）（1.3）的差分格式）。2稳定性与收敛性抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式:

5、(2.1)其中，和是阶矩阵。我们假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显格式，等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令和分别是以和为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则满足（2.2）因此，按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义：假设，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：（2.2），这里是上的某一个范数，例如类似地，假设，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：（

6、2.2），可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这时我们简单地称差分格式稳定。前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳定的，时间步长可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式，截断误差又很小，但是却不可用。如果某个差分格式的截断误差当和趋于0时随之趋于0，则称这个差分格式是相容的。可以证明：若差分格式

7、是相容的和稳定的，则它是收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此，当网比时，向前差分格式（1.4）有收敛阶。对任何网比，向后差分格式（1.6）有收敛阶，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶。3．高维抛物方程差分法考虑如下二维抛物方程的差分格式。（3.1）取空间步长，时间步长。作两族平行与坐标轴的网线，，其中，将矩形区域分割成个小矩形。记为网格节点上的差分解。前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为（3.2）实际计算时，先令，利用已知的等等，对，用（3.