抛物型方程的有限差分方法

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1、抛物型方程的有限差分方法一，求解问题考虑一维非齐次热传导方程的定解问题=/(x,r),0

2、

3、1-2r）u"+心二+uM）4-r/（x.,tk）l

4、然后在幻进行泰勒展开从而得到uk^=u：+r^-(xt11d才(兀?du-z2+厂乔・)+如)uk+l-u.dud2u2»1（也）+厂丽1（也）+°（£）T显然得到截断误差<(w)=4,v-[^i；11u.?「=-r()(--)+0(r+/2-)12r2dr=0(T+h2)其中（「）：是r在矩形®_]

5、4rsin215=为使

6、2；

7、<14-Mt或一5肉

8、=l-4rsir?乎51+Me必须且只须4厂sin?乎W2+M&丿・二1,2,…,N-1即4r<2,r1/2时不稳定。•算例：应用向前Euler格式计算定解问题du32w=0,0

9、计算得到的部分数值结果，数值解很好的逼近精确解。表2给出了取步长h=l/10和r=1/100（步长比r=l）时计算得到的部分数值解。随着计算层数的增加，误差越来越人，数值结果无实用价值。从图1JL取时间步长和空间步长都为10可以看到后面数值解和精确解的误差非常去前向差分格式不稳定。出表3给出了“1/2时，取不同步长，数值解的最大误差Eg(h,t)=max

10、

11、从表3可以看出当空间步长缩小到原来切川寸间步长缩小到原来的1A时，最大误差约缩小到原来的1/4.表1给出了取步长h=V10和&=1/200吋计算得到的部分数值

12、结果k(x,t)数值解精确解

13、精确解■数值解

14、20(0.5,0.1)1.8221.82210.00016640(0.5,0.2)2.01342.01380.00030360(0.5,0.3)2.22512.22550.0004180(0.5,0.4)2.45912.45960.000484100(0.5,0.5)2.71782.71830.000521120(0.5,0.6)3.00363.00420.000519140(0.5,0.7)3.31963.32010.000472160(0.5,0.8)3.6689

15、3.66930.000375180(0.5,0.9)4.0554.05520.00022200(0.5,1.0)1.8224.48170.000166表2给出了取步长h=V10和r=1/100时计算得到的部分数值解k(V)数值解精确解

16、精确解■数值解

17、1(0.5,0.01)1.66521.66536.90E-052(0.5,0.02)1.68191.68200.00013