椭圆型方程有限差分法.doc

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1、第4章椭圆型方程的有限差分法§2一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。解：考虑在[a,b]内任一小区间，将上式在此区间上积分得或（1.1）其中，（1.2）特别地，取为对偶单元，则。将（1.2）改写成，再沿积分，得，利用中矩形公式，得（1.3）又（1.4）（1.5）（1.6）将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式。如果系数p,q,r以及右端f光滑，则可用中矩形公式计算得▌2、导出对的逼近阶。解：，，记，则逼近阶为。▌§3矩形网的差分格式1、用积分插值法构造逼近方程（*）的第一边值问题的五点差分格式，这里解：考虑xy平面上一有界区域G

2、，其边界为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：取定沿x轴和y轴方向上的步长，并作对偶剖分。记，,作两族与坐标轴平行的直线，其交点属于G内部者为对偶剖分的内点，直线与边界的交点为对偶剖分的界点。对于任一正则内点，考虑对偶剖分的网点：，，，，用表示以A,B,C,D为顶点的矩形，其内部区域记为，于上对（*）积分。利用中矩形公式有类似地有此外有将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替，代入（*）式，并同时除以，就得到（*）式的差分方程：▌1、用差分法求解边值问题。解：令，则整个xy平面变成平面上的半带形域，从而满足的上述边值问题转化为极坐标形式下满足的边值问题就可转化为首先关于区

3、域G分别取等步长进行网格划分，令这样就在半带形区域上形成了网格节点，再对变量r的取值范围作对偶剖分。作中心差分得：代入到原边值问题中，则得到差分方程：