有限差分法解雷诺方程.docx

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1、雷诺方程的数值解法——有限差分法雷诺方程的一般形式为∂h3∂p∂h3∂p∂h∂h+=6U+V+2ρwh−w0∂xη∂x∂yη∂y∂x∂y1求解雷诺方程的方法有很多，有限差分法是最为常用的一种方法2有限差分法的解题步骤：1）将所求的方程量纲一化。目的是减少自变量和应变量的数目，同时，用量纲一话的解具有通性。2）将求解域划分成等距或者不等距的网格，网格的划分根据精度要求来定。3）将方程写成线性形式。这一步是有限差分法的关键，主要是将二次导数和一次导数展开成一次项例如变量ϕ在（i，j）点的偏导数为∂ϕϕi+1,j−ϕi−1,j=

2、∂xi,j2∆xfx+∆x−f(x−∆x)类似于f'(x)=2∆x∂ϕϕi+1,j−ϕi−1,j=∂y2∆yi,j∂2ϕϕi+1,j+ϕi−1,j−ϕi,j=∂x22i,j（∆x）∂2ϕϕi+1,j+ϕi−1,j−ϕi,j=∂y22i,j（∆y）当然，在边界上时，采用单向差分：∂ϕϕi+1,j−ϕi,j=∂xi,j∆x∂ϕϕi+1,j−ϕi,j=∂y∆yi,j或者向后差分公式：∂ϕϕi,j−ϕi−1,j=∂xi,j∆x∂ϕϕi,j−ϕi−1,j=∂y∆yi,j所以，先将雷诺方程写成标准形式：∂2ϕ∂2ϕ∂ϕ∂ϕA+B+C+

3、D=E∂x2∂y2∂x∂y其中A、B、C、D、E都是常数，将一次、二次导数的展开式带入到上式中可得：ϕi,j=CNϕi,j+1+CSϕi,j−1+CEϕi+1,j+CWϕi−1,j+G其中BDCN=2+K∆y2∆yBDCS=2−K∆y2∆yACCE=2+K∆x2∆xACCW=2−K∆x2∆xEABG=−,K=2+K∆x2∆y2这样，我们得到了有限差分法的计算方程，对于每一个节点都可以写出这样一个方程，再利用边界上的点满足的边界条件本次matlab算法基于稳态、等温、层流和不可压缩牛顿流体假设的Reynolds方程为∂∂p∂

4、∂p∂hh3+h3=6ηv∂x∂x∂y∂y∂x展开得到∂∂p∂∂p∂h∂p∂h∂p∂hh3+h3+h2+h2=6ηv∂x∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂x3∂h将h和求出就可得到形如∂x∂2ϕ∂2ϕ∂ϕ∂ϕA+B+C+D=E∂x2∂y2∂x∂y求出各点压强之后承载量W=pdxdy摩擦力为流体的剪切力F=τdxdy其中∂u1∂pητ=η=2z−h+Uh−U0∂z2∂xh此时，我们取z=h/2，这样得到τ的平均值