从Malthus模型到混沌.ppt

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1、从Malthus模型到混沌上海交大数学科学学院数学实验混沌概念的提出与下列洛伦兹系统有关洛伦兹系统图形巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起—洛伦兹数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序。—倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微小差异几乎都会造成行为方式上的巨大变化，可控制的行为似乎已被排除。—斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？■了解函数的迭代，不动点和有关的作图■介绍混沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度■混沌的倍周期分叉、遍历性和某些■计算机与科学研究(即使是数学)分布等方法来研究混沌普适结构实验目的出现在各领域的类似随机、难以

2、预测的现象由此引起的复杂而有趣的现象“侏罗纪公园”中的恐龙重现■我们的讨论■什么是混沌?宇宙的起源龙卷风的产生、厄尔尼诺现象金融危机爆发从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论问题的提出数学模型■Malthus模型口数成正比,从而xn+1＝xn＋rxnxn+1=axn其中a=r+1.设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是记g(x)=ax，则函数迭代为xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0于是Malthus有

3、结论：人口增长呈几何级数约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口与近年统计结果有误差，由a>1,xn趋向无穷，xn＋1＝g(xn)容易得到统计结果一致模型在人口长期预测方面必定是失效的..■Logistic模型生存资源是重要的因素，修改模型为：xn+1－xn=rxn－bxn2－bxn2为竞争(约束)项，r、b称生命系数,则xn+1=axn－bxn2，（a=r+1）这是一个如下非线性映射的迭代f1(x)=ax－bx2通常a=1.029,b与依赖该人群经济、文化等因素据公布的1995年人口数据，推算b=0.001

4、539410-8数据观察（利用Matlab）年份统计人口计算人口年份统计人口计算人口199512.112112.1121200212.845312.9668199612.238912.2376200312.922713.0841199712.362612.3620200412.998813.2000199812.476112.4853200513.075613.3147199912.578612.6075200613.144813.4280200012.674312.7285200713.212913.539920

5、0112.762712.8482200813.280213.6504比较表明计算数据与统计数据相对接近误差说明b需要依据情况作调整也可以利用Logistic模型对人口数作预测看出人口总数会有上界了解混沌■Logistic映射(Robert.May的研究）f(x)=ax(1-x)，x在[0,1]内变化xn+1=f(xn)从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}称为x0的轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即■数值迭代（a逐渐增加，迭代会有

6、何结果）倍周期分叉现象当0

7、)当1+61/2

8、一个单调增加的数列{ck}其极限值为c*=3.569945557391….这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值赖于数值方法:将a与对应的周期点作图分叉值如何求?混沌的特点当c*