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1、第三章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)角的有关概念:角的特点角的分类从运动的角度看角可分为_____、_____和_____从终边位置来看可分为_______和轴线角α与β角的终边相同β=____________(k∈Z)(或β=__________,k∈Z)正角负角零角象限角α+k·360°α+k·2π(2)弧度的概念:①1弧度的角:长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②角α的弧度数公式:
2、α
3、=___.③角度与弧度的换算
4、:360°=____rad,1°=_____rad,1rad=(____)°≈57°18′.半径长2π(3)任意角的三角函数:①定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=__,cosα=__,tanα=________.yx②几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的_______,_______和_______.正弦线余弦线正切线(4)终边相同的角的三角函数:s
5、in(α+k·2π)=______,cos(α+k·2π)=______,tan(α+k·2π)=______(其中k∈Z),即终边相同的角的同一三角函数的值相等.(5)扇形的弧长与面积公式:扇形的弧长l=____;扇形的面积S=____=_______.sinαcosαtanααr2.必备结论 教材提炼 记一记(1)象限角与轴线角①象限角:②轴线角:(2)任意角三角函数的定义设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则sinα=__,cosα=__,tanα=_________.3.必用技法
6、 核心总结 看一看(1)常用方法:数形结合法.(2)数学思想:分类讨论、数形结合.(3)记忆口诀:各象限角三角函数值符号的记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)顺时针旋转得到的角是正角.()(2)钝角是第二象限的角.()(3)若两个角的终边相同,则这两个角相等.()(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.()(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.()【解析】(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.(2)正确.钝角的范围是(,π),显然是第二象限的角.(3)错误.
7、角180°的终边与角-180°的终边相同,显然它们不相同.(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知,角的正切值不存在.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P10T10改编)单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10πB.9πC.D.【解析】选D.单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×=,由弧度数的定义得,所以l=.(2)(必修4P15T6改
8、编)若角θ满足tanθ>0,sinθ<0,则角θ所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由tanθ>0知,θ是一、三象限角,由sinθ<0知,θ是三、四象限角,故θ是第三象限角.3.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·兰州模拟)下列各角与终边相同的角是()【解析】选D.与终边相同的角可以写成+k·2π,k∈Z，当k=-1时，为(2)(2015·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y=-x上，且cosα＜0，则tanα=()【解析】选D.如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上
9、任取一点P(x,y)则y=-x，由三角函数的定义得tanα==-1.(3)(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tanα>0,则()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0【解析】选C.由tanα>0可得:kπ<α0.考点1象限角及终边相同的角【典例1】(1)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.(2)如果α是第三象限的角,试确定-α,2α的终边所在位置.【解题提示】(1)数形结合,先写出[0,
10、2π)内的角,再写出[-2π,0)内的角,最后写出集合.(2)由α的范围写出-α与2α的范围,再由终边相同角的关系判断.【规范解答】(1)如图，在坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是，在［0，2π)内，终边在直线y=x上的角有两个：;在［-2π，0)内满足条件的角有两个：故满足条件的角α构成的集合为答案：(2)由α是第三象限的角得所
