复变函数1-4复球面与无穷远点.ppt

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1、1.4.1复球面1.4复球面与无穷远点1.4.2扩充复平面上的几个概念1.4.3小结与思考21.4.1复球面(1)南极、北极的定义xyONSz(2)复球面的定义借助于侧地投影法，我们可以将球面上的点,除北极N外,与复平面内的点建立一一对应关系.3xxONSzP(z)z用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}成一一对应关系.我们可以用球面上的这个点P(z)来表示复数z.对任意复数z，过z与N作一直线，除N外此直线与球面有一个交点P(z);反过来，对球面上的点P(z)，过N与P(z)作直线，此直线与z平面有惟一的一个交点z.z与P(z)之间成一一对应xxONSz

2、P(z)z对任意复数z，与球面点P(z)之间成一一对应设：z点的坐标为(x,y,0);P(z)点的坐标为(x,y,z),N点的坐标为（0,0,1)因为z,P(z),N共线，所以:x:y:-1=x:y:(z-1)(x,y,z)(x,y,0)（0,0,1)x:y:-1=x:y:(z-1)xxONSzP(z)z(x,y,z)(x,y,0)（0,0,1)因而球面上的北极N就是复数的几何表示.xxONSzP(z)z(3)扩充复平面的定义我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，

3、记作C7（7）复平面上没一条直线都通过,没有一个半平面包含81.4.2关于扩充复平面上的几个概念称为无穷远点的邻域(其中M>0)的所有点的集合{z

4、

5、z

6、>M}且满足

7、z

8、>M1.包括无穷远点自身在内92.广义极限101.4.3小结与思考本节主要介绍了复球面和扩充复平面.注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．