复变函数与积分变换经典PPT复变函数.ppt

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1、复变函数与积分变换第四章级数1.复数项级数2.幂级数3.泰勒级数4.洛朗级数5.第四章小结与习题Rr.z...第四节洛朗级数问题的引入1洛朗级数的概念2小结与思考5典型例题4函数的洛朗展开式3一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R结论:.常见的特殊圆环域:...例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕的任一正向

2、简单闭曲线.为洛朗系数.证对于第一个积分:Rr.z..对于第二个积分:其中下面证明则如果C为在圆环域内绕的任何一条正向简单闭曲线.则可用一个式子表示为:[证毕]说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.三、函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性，可用代数运算、代

3、换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法四、典型例题例1解由定理知:其中故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解oxy112oxy由且仍有2oxy由此时仍有注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的

4、洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛解例3例4解例5内的洛朗展开式.解五、小结与思考在这节课中，我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题洛朗级数是一个双边幂级数，其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域ThankYou!再见！