复变函数与积分变换经典PPT-复变函数(I)

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1、复变函数与积分变换第四章级数1.复数项级数2.幂级数3.泰勒级数4.洛朗级数5.第四章小结与习题..K.第三节泰勒级数问题的引入1泰勒定理2小结与思考5典型例题4将函数展开成泰勒级数3一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.由柯西积分公式,有其中K取正方向.则由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内令则在K上连续,即存在一个正常数M,在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开

2、式在　　　　内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于　，但二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)因为　　解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为

3、幂级数，展开式是否唯一？那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例如，故有仿照上例,2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接展开更为简洁，使用范围也更为广泛.例如，附:常见函数的泰勒展开式例1解四、典型例题上式两边逐项求导,例2分析

4、如图,即将展开式两端沿C逐项积分,得解例3解例4解例5解例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:五、小结与思考通过本课的学习，应理解泰勒展开定理，熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项，偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案ThankYou!再见！泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1

5、731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor