第四节 复球面与无穷远点

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1、§4复球面与无穷远点一、教学目标或要求：掌握基本概念、处理习题二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：复球面扩充复平面球极投影处理习题重点：复球面扩充复平面球极投影难点：球极投影三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：9－11§4复球面与无穷远点1.复球面复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应。　　把一个球放在复平面上，球以南极S跟复数平面相切原点，通过O点作一垂直于z平面的直线与球面交于N点，N称为球的北极，在复平面上任取一点z，它与球的北极N的联

2、线跟球面相交于，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球.　　考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周（即纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N.因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为　　无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为.无远点的幅角没有明确意义，复平面加上点后，称为扩充平面（或闭平面，全平面），与它所对应的就是整个球面，称为复球面，原来的复平面称为开平面.数的运算规定：无意义；当时,当(但可取时),的实部、虚部及辐角都无意义，复平面上的每一条直线都经过点,同

3、时,没有一个半平面包含点。2．扩充复平面上的几个概念(1)无穷远点的邻域：以原点为心的某圆周的外部，即的邻域是指合乎条件的的点集.(2)闭平面是唯一的无边界的区域，无穷远点是开平面的界点，是闭平面的内点.在扩充复平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点为心的某圆周的外部，即的一邻域指：。相应的聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点。1)复平面上的无穷远点，只有一点，即当时的极限点(不论取何值)，是指沿任意方向趋于.2)无穷远点的运算与实变函数中的复变函数的运算相似.本章内容课后讨论1.复数在哪几种表示式？在进行复数的各种运算时，各以何种形式为方便？2.

4、为什么不用定义虚数单位？3.复数的辐角主值是如何选取的？argz的规定方式是否是惟一的？为什么？z=0和z=的辐角有无意义？4.若规定0

5、z

6、，

7、z-z0

8、的几何意义是什么？11.满

9、足不等式：

10、z-a

11、0，a为复常数)，Rez>0，Imz>0的点z各位于何处？12.复数和间有何关系？13.何谓邻域？何谓区域？