无穷远点在哪里.doc

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1、无穷远点在哪里   两条直线至多交于一点．但是，即使在同一个平面上，两条直线也不一定非相交不可．如果不相交，就说这两条直线平行．   平行线不相交，它们好像笔直的铁路上的两根钢轨，距离处处相等，一同伸向远方．不过，当你顺着铁路向前方眺望的时候，你却感到，两根钢轨之间的距离越来越小．终于，在地平线上，它们似乎汇合在一起了．   你明白，这是视觉的假象，它们不会合为一点．   但也许是因为这种假象给人们以影响吧，有不少人就说：两条平行线交于无穷远处．不过，直线相交处是点，所以也说：两条平行线交于无穷远点

2、．   这种说法对吗？退一步，这种说法能讲出点什么道理吗？   要想为“平行线交于无穷远点”找点根据，就得解释清楚什么叫“交”，什么叫“无穷远点”．   数学家还真的给这种说法找到了可以自圆其说的解释．   交，是好理解的．两条直线有一个交点，也就是两条直线有一个公共点．   两条平行直线，有什么公共的东西呢？如果有什么公共特点的话，这个公共特点也就可以勉强叫做“无穷远点”吧！“交于无穷远点”，也就是有公共的“无穷远点”！   两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，这表明，平行线有共同的方向，或

3、者说，它们对同一直线倾斜的程度是一样的！   两个人分别在两条直线上行走，如果两条直线不平行，他俩之间的距离最终会越走越远．当两条直线平行的时候，他们才有可能永远保持着不远不近的距离．   这么说，“无穷远点”就是方向，就是倾斜度．每条直线有自己的倾斜度，也就是有自己的“无穷远点”．   用这个观点看问题，便可以说：“平面上任意两条直线交于一点，或者是平常的点，或者是无穷远点．”   望远镜能帮我们看到远方的景色，但看不到无穷远点．数学家的眼光却能看到无穷远点．这不是胡说，数学家真有办法把无穷远点从

4、无穷远处拉回来，变成看得见摸得着的平平常常的点．   数学家有自己的超级望远镜，这个超级望远镜叫做“射影变换”．    如图，在平坦的广场上竖立两根高高的竿子，一根是AB，一根是CD．它们可以看成两条平行线．比这两根竿子更远的地方，有一根灯柱．电灯O光芒四射，它把两根竿子的长长的影子投到地面上．这两条影子，不再是平行的了！它们的延长线交于一点P，P恰在灯柱的下端！   事实表明，在点光源照射下，平行线的影子可以不再平行了．这种由点光源的投影形成的图形变换，叫做射影变换．   两根竿子AB、CD，它们

5、没有公共点，无论怎样延长，也不会相交．但它们的影子WA和YC，延长之后却相交于一点P．   影子上的每一点，都是竿子上某一点的投影．图中Y是X的投影，W是Z的投影．但是，当AB上的M的高度和光源O的高度相等的时候，OM平行于地平面，M的影子就落不到地上了．M的影子哪里去了呢？让Z在AB上渐渐升高，Z越接近M，Z的影子W跑得越远．Z无限逼近M的时候，W会远得难以想象．所以，不妨认为，Z到达M的时候，它的影子W就到无穷远处了．所以，M的影子是直线PA上的无穷远点，同样，在CD上取N使的时候，N的影子是直

6、线PC上的无穷远点．比喻永远是蹩脚的．灯光下的影子虽然给我们以很大启发，但并不能圆满地解释一切．当Z再升高，超过M的时候，Z的影子投入茫茫太空．怎么办？AP这段虚线，又是哪一段竿子的投影？在数学家看来，所谓W是Z的影子，也就是W在直线OZ上．这样，只要让Z在整条直线上滑动，看直线与广场平面交点轨迹如何变化！   比喻永远是蹩脚的．灯光下的影子虽然给我们以很大启发，但并不能圆满地解释一切．当Z再升高，超过M的时候，Z的影子投入茫茫太空．怎么办？AP这段虚线，又是哪一段竿子的投影？   在数学家看来，所

7、谓W是Z的影子，也就是W在直线OZ上．这样，只要让Z在整条直线上滑动，看直线与广场平面交点轨迹如何变化！   把OAB平面画出来看（如图），就清楚多了：原来当Z比M更高的时候，直线OZ与广场平面的交点在AP的延长线上．当Z在A的下面，即Z钻入地下的时候，OZ与广场平面的交点恰在线段AP上．也就是说，Z在直线AB上变动的时候，W就在直线PA上变动．当Z向“天上”升，越来越高的时候，W从左方向P靠拢．当Z向地下钻，越钻越深的时候，W从右方向P靠拢．这样看，P就是直线AB上的无穷远点变过来的．同时，可以看

8、出，直线AB上只有一个无穷远点．天上地下，两头的无穷远点是同一个．    如果广场上又竖起一根斜竿EF（见上图），在点光源照射下，直线EF上的无穷远点投射到什么地方了呢？是不是仍是P呢？不是了．过O作一条平行于EF的直线，交广场平面于Q，Q才是EF上无穷远点的投影．   让EF绕着E在一个平面内旋转，Q就跟着变动，点Q的轨迹是一条直线．既然平面上无穷远点的“影子”是直线，我们就说平面上所有的无穷远点组成一条无穷远直线．   在射影变换之下，直线变成直线，直线的交点还是